Discrétisation

Une solution d'une équation aux dérivées partielles discrétisée, obtenue par la méthode des éléments finis.

En mathématiques appliquées, la discrétisation est la transposition d'un état Modèle:Page h' (fonction, modèle, variable, équation) en un équivalent Modèle:Page h'. Ce procédé constitue en général une étape préliminaire à la résolution numérique d'un problème ou sa programmation sur machine. Un cas particulier est la dichotomisation où le nombre de classes discrètes est 2, où on peut approcher une variable continue en une variable binaire.

La discrétisation est aussi reliée aux mathématiques discrètes, et compte parmi les composantes importantes de la programmation granulaire. Dans le contexte, la discrétisation peut renvoyer à la modification de la granularité, quand plusieurs variables discrètes sont réunies ou des catégories discrètes fusionnées.

Discrétiser des données continues engendre systématiquement une Modèle:Lien. Un des objectifs est donc de concevoir un modèle discret qui minimise au mieux cette erreur.

Modèle:Ancre Il ne faut pas confondre discrétisation et quantification.

On compte également la Modèle:Lien et le bloqueur d'ordre 0 parmi les méthodes de discrétisation.

Discrétisation de modèles d'état linéaires

La discrétisation apparait dans la transformation d'équations différentielles continues en équations aux différence discrètes.

On considère le modèle d'état en espace, continu en temps :

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {y} (t)&=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}$

où Modèle:Math et Modèle:Math sont des sources de bruit blanc avec une densité spectrale de puissance

$\mathbf {w} (t)\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {Q} )\ ,\ \mathbf {v} (t)\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {R} )$

peuvent être discrétisées, en supposant que le signal Modèle:Math est un bloqueur d'ordre 0 et une intégration continue pour le bruit Modèle:Math, donnant

${\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]\\\mathbf {y} [k]&=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]\end{aligned}}$

avec des covariances

$\mathbf {w} [k]\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {Q} _{d})\ ,\ \mathbf {v} [k]\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {R} _{d})$

où

$\mathbf {A} _{d}=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}$

$\mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} \tau }\mathrm {d} \tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B}$, si Modèle:Math est régulière

$\mathbf {C} _{d}=\mathbf {C}$

$\mathbf {D} _{d}=\mathbf {D}$

$\mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} \mathrm {e} ^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }\,\mathrm {d} \tau$

$\mathbf {R} _{d}={\frac {1}{T}}\mathbf {R}$

et Modèle:Mvar est le temps d'échantillonnage, et $\mathbf {A} ^{\top }$ est la transposée de Modèle:Math.

Une astuce pour calculer Modèle:Math et Modèle:Math en une étape consiste à utiliser la propriétéModèle:Rp

$\exp \left(T{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}\mathbf {M_{11}} &\mathbf {M_{12}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}$

et donc

$\mathbf {A} _{d}=\mathbf {M} _{11},\quad \mathbf {B} _{d}=\mathbf {M} _{12}.$

Discrétisation de bruits

L'évaluation numérique de Modèle:Math est rendue plus délicate avec l'intégrale d'une exponentielle de matrice. On peut la calculer en deux temps, d'abord la construction de la matrice, puis le calcul de son exponentielle

$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T$

$\mathbf {G} =\mathrm {e} ^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.$

Le bruit discrétisé est ensuite évalué en multipliant la transposée du bloc en bas à droite de Modèle:Math avec celui en haut à droite :

$\mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).$

Dérivation

En partant du modèle continu

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

on sait que l'exponentielle de matrice est

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} \mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {A}$

et en multipliant à gauche le modèle :

$\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

on reconnait

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

L'intégration donne ainsi

$\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-\mathrm {e} ^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau$

$\mathbf {x} (t)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau$

ce qui est une solution analytique du modèle continu.

On veut désormais discrétiser cette expression. On suppose Modèle:Math constante sur chaque pas de temps.

$\mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau$

$\mathbf {x} [k+1]=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau =\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\left[\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau$

On reconnait l'expression entre crochets dans le premier terme comme Modèle:Math, et le second terme peut être simplifié en faisant la substitution Modèle:Math, ce qui permet Modèle:Math. On suppose aussi que Modèle:Math est constante dans l'intégrale, ce qui donne :

${\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{aligned}}$

qui est une solution exacte du problème de discrétisation.

Approximations

Une discrétisation exacte peut parfois être impossible à cause d'une exponentielle de matrice lourde et des étapes d'intégrations. Il devient alors plus simple de calculer un modèle discret approché, basé sur de petits pas de temps de sorte qu'on ait $\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T$. La solution approchée devient alors :

$\mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k].$

D'autres approximations possibles sont $\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}$ et $\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}$. Chacun a des propriétés de stabilité différentes. On peut également mentionner la transformation bilinéaire, ou transformation de Tustin, qui préserve les propriétés de stabilité du système continu en temps.

Discrétisation d'équations différentielles

Le découpage d'un domaine en sous-domaines simples (ici, par une triangulation) est une première étape de discrétisation de l’espace avant la résolution numérique.

La résolution numérique d'une équation différentielle (ordinaire ou aux dérivées partielles) nécessite une discrétisation du domaine de définition de la solution (espace ou temps, voire les deux). Ainsi, d'une fonction Modèle:Math définie sur un domaine Modèle:Math et un intervalle de temps Modèle:Math, on ne calculera que des valeurs Modèle:Math, où les Modèle:Math sont des points de Modèle:Math et Modèle:Math des instants de Modèle:Math. Pour cela, les opérateurs différentiels sont également approchés par des versions discrètes, comme la dérivée seconde discrète :

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\simeq {\frac {u_{i-1}-u_{i}}{x_{i-1}-x_{i}}}+{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}.$

La méthode de résolution (différences finies, éléments finis ou volumes finis, pour citer les plus courantes) permet de construire un problème discret dont la solution est une approximation de la solution du problème continu. L'erreur commise a deux sources :

• l'erreur de projection : en passant d'un espace continu à un espace discret, l'espace dans lequel la solution existante est changée ;
• l'erreur d'interpolation : le choix du schéma numérique et la définition de la grille espace-temps choisie pour la résolution va influer sur la qualité de l'approximation.

Discrétisation de caractéristiques continues

En statistique et apprentissage machine, la discrétisation renvoie à la conversion de variables ou caractéristiques continues en variables ou caractéristiques discrètes nominales. Ce procédé est utile pour créer des fonctions de densité de probabilités.

Voir aussi

• Espace discret
• Algèbre temporelle
• Simulation à événements discrets
• Simulation stochastique
• Méthode des volumes finis pour des flux instables
• Temps discret et temps continu

Liens externes

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