Divergence (analyse vectorielle)

Les lignes bleues représentant les gradients de couleur, du plus clair au plus foncé. L'opérateur divergence va permettre de calculer, localement, la variation de ce gradient de couleur

Illustration de la divergence d'un champ vectoriel, ici champ de vitesse converge à gauche et diverge à droite.

En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs est un opérateur différentiel mesurant le défaut de conservation du volume sous l'action du flot de ce champ.

L'opérateur divergence est un outil d'analyse vectorielle qui mesure, pour faire simple, si un champ vectoriel « rentre » ou « sort » d'une zone de l'espace, comme ce que l’on peut observer sur un diagramme de lignes de champ. Il donne donc une information très liée aux sources qui créent le champ. Les équations de continuité permettent de comprendre intuitivement cette notion, la divergence va en effet mesurer localement les variations de densité, on retrouve cette grandeur, macroscopiquement cette fois, dans les valeurs de diffusion de particule ou de chaleur par exemple. Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas et si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.

En mécanique des fluides, si un fluide rentre dans un tube compressible avec davantage de force qu'il n'en sort à l'autre extrémité, le tube va avoir tendance à voir sa pression interne augmenter, et donc son volume. La divergence ne caractérise cependant pas le comportement du tube, mais bien les caractéristiques du flux de matière, susceptibles d'influer sur le volume traversé.

Plus précisément, soit $t\mapsto \phi _{t}(x)$ la trajectoire du champ X issue de x.

Ces trajectoires s'organisent en une famille de transformations $x\mapsto \phi _{t}(x)$ (le flot de X), et pour tout domaine D on a

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {vol} (\phi _{t}(D))_{\vert t=0}=\int _{D}\operatorname {div} X\mathrm {d} \mathbf {x}$

Un champ à divergence nulle est un champ qui conserve le volume, tel le champ des vecteurs vitesse d'un fluide incompressible.

Ainsi, div X est une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première du volume le long des trajectoires dudit champ.

En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, la divergence intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. La divergence est notamment utilisée dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell.

Des définitions plus précises sont données dans le corps de l'article.

Divergence d'un champ de vecteurs

L'opérateur divergence est un opérateur différentiel linéaire de degré 1, défini sur les champs de vecteurs et à valeurs dans les fonctions.

Définition en dimension 3

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, la divergence d'un champ de vecteurs ${\vec {A}}={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}$ a pour expression

$\operatorname {div} {\vec {A}}={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

Formellement, l'opérateur divergence appliqué à un champ vectoriel ${\vec {A}}$ peut s'interpréter comme produit scalaire du vecteur nabla ${\vec {\nabla }}$ par le vecteur ${\vec {A}}$.

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=\operatorname {div} {\vec {A}}={\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {z}}}$

Cette définition a le désavantage d'être dépendante du choix d'une base orthonormée.

Interprétation heuristique concernant la variation du volume

Le flot du champ A est approximativement (pour t petit) donné par

$(x,y,z)\mapsto F_{t}(x,y,z)=(x,y,z)+tA(x,y,z)$

Le volume de l'image par $F_{t}$ d'un "petit" pavé de centre (x,y,z) est multiplié par le déterminant de la matrice jacobienne de $F_{t}$. Mais la dérivée par rapport à t de ce déterminant, pour t=0 est précisément

${\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

Justification rigoureuse de l'interprétation

Elle utilise les formes différentielles. Dans $\mathbb {R} ^{3}$ le volume d'un domaine s'obtient en intégrant sur ce domaine la forme différentielle $\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$. Soit $\phi _{t}$ le flot du champ A.

La variation infinitésimale du volume est alors

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{t}^{\ast }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)_{\mid t=0}$

C'est par définition la dérivée de Lie $L_{A}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)$ de $\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$.

On vérifie que

$L_{A}(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)$

(voir plus bas la démonstration en dimension n de cette identité).

En particulier, le flot de $A$ conserve le volume (c’est-à-dire $\mathrm {vol} (\varphi _{t}(D))=\mathrm {vol} (D)$ pour tout domaine $D$ de $\mathbb {R} ^{3}$) si et seulement si la divergence est partout nulle. Le volume augmente si la divergence est positive, diminue si elle est négative.

Ce calcul montre aussi que la divergence ne dépend pas de la structure euclidienne de l'espace, mais seulement de l'élément de volume.

Exemples

La divergence du champ $x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}+z{\frac {\partial }{\partial z}}$ (champ radial) est constante (égale à 3) (le flot de ce champ est formé d'homothéties, qui multiplient les volumes par une constante).

La divergence du champ $y{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial y}}$ est nulle (son flot est formé de rotations).

Interprétation concernant le flux

La divergence peut être définie à partir du flux d'un champ de vecteur. Si $D$ est un domaine relativement compact de $U$, dont le bord est une surface lisse $S$, le flux de $X$ à travers $S$ est égal à l'intégrale sur $D$ de la divergence. Explicitement

$\int _{D}(\operatorname {div} X)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\int _{S}i(X)(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\int _{S}g(X,\nu )\Omega _{S}$

Dans la dernière intégrale, $\nu$ est le vecteur unitaire normal sortant de $S$, et $\Omega _{S}$ est l'élément d'aire de la surface $S$. Cette égalité est valable en toute dimension, et s'etend aux domaines à bord des variétés riemanniennes orientées. Elle est connue sous le nom de théorème de Green-Ostrogradski (en dimension 3) ou théorème de flux-divergence, qui est l'une des nombreuses variantes du théorème de Stokes Modèle:Démonstration

Divergence en dimension n

Cette définition et ses propriétés s'étendent aux champs de vecteurs sur $\mathbb {R} ^{n}$. Si $A=(A_{x^{i}})_{1\leq i\leq n}$ est un tel champ de vecteurs, on pose

$\mathrm {div} A=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial A_{x^{i}}}{\partial x^{i}}}$

Pour $\omega =\mathrm {d} x^{1}\wedge \dots \mathrm {d} x^{n}$, on a encore $L_{A}\omega =(\mathrm {div} A)\omega$, d'où son lien avec le principe de (non)conservation du volume n-dimensionel.

Exemple. Pour le champ linéaire donné par

$A_{x^{i}}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}x^{j}$

la divergence est la trace de la matrice $(a_{j}^{i})_{1\leq i,j\leq n}$.

Utilisation en physique

Lois de conservation

Illustration représentant un volume $V$ intérieur à la surface fermée $(S)$ dont la normale extérieure en tout point est ${\vec {n}}$.

D'une manière générale, la divergence est reliée en physique à l'expression locale de la propriété de conservation d'une grandeur. En considérant une surface fermée quelconque $(S)$, la variation d'une grandeur conservative dans le volume fermé par cette surface est, par définition d'une grandeur conservative, due aux échanges avec l'extérieur (il n'existe pas de sources de création ou d'annihilation d'une grandeur conservative). Le bilan de cette grandeur entre deux instants s'écrit donc uniquement comme la somme du flux de cette grandeur à travers la surface fermée $(S)$ et de la variation temporelle de la grandeur à l'intérieur de la surface $(S)$. Si la grandeur est conservative, ce bilan est nul.

Par exemple, en électromagnétisme, si ${\vec {J}}$ est le vecteur densité volumique courant, $\rho$ la densité volumique de charge électrique et $V$ le volume intérieur à la surface $(S)$, la conservation de la charge s'écrit de façon intégrale :

$\iint _{(S)}{\vec {J}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iiint _{V}\rho \,\mathrm {d} V=0$

ou encore, pour une surface $(S)$ fixe :

$\iint _{(S)}{\vec {J}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S+\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} V=0$

avec ${\vec {n}}$ est un vecteur unitaire normal en tout point à $(S)$.

La formule de Green-Ostrogradsky permet de réécrire l'équation précédente à la manière de la divergence :

$\iiint _{V}\operatorname {div} ({\vec {J}})\,\mathrm {d} V+\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} V=0$

Ce qui mène immédiatement à la relation locale de conservation :

$\operatorname {div} ({\vec {J}})+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

Il est ainsi également possible d'exprimer localement, par exemple dans le cadre de la mécanique des fluides, si $\rho$ est la masse volumique en un point et ${\vec {V}}$ le champ des vecteurs vitesse :

$\operatorname {div} (\rho \,{\vec {V}})+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$ (équation de continuité).

D'autres lois de conservation font intervenir la divergence de tenseurs d'ordre 2, comme la conservation de la quantité de mouvement en mécanique des fluides. En relativité générale, on montre aussi la nullité de la divergence du tenseur énergie-impulsion.

Champs radiaux en carré inverse de la distance

Lorsqu'une loi d'interaction radiale, due à des sources ponctuelles, varie comme le carré inverse de la distance il est possible d'établir que le flux du champ d'interaction à travers une surface fermée est toujours proportionnel à la quantité de sources présentes à l'intérieur de la surface fermée. Ce type de relation porte généralement en physique le nom de théorème de Gauss. Par exemple, dans le cas du champ électrostatique ${\vec {E}}$, dû aux charges électriques $Q_{\text{int}}$ présentes à l'intérieur de la surface fermée $(S)$ on a la forme intégrale du théorème de Gauss suivante :

$\iint _{(S)}{\vec {E}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S={\frac {Q_{\text{int}}}{\varepsilon _{0}}}$

Grâce au théorème de flux-divergence il est possible d'exprimer une forme locale du théorème de Gauss. L'équation précédente se réécrit :

$\iiint _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}\,\mathrm {d} V={\frac {Q_{\text{int}}}{\varepsilon _{0}}}=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V$

si $V$ est le volume délimité par $(S)$ et $\rho$ la densité volumique de charge. On obtient alors immédiatement :

$\operatorname {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

qui est la forme locale du théorème de Gauss. Ce type de relation est également possible pour le champ de gravitation :

$\operatorname {div} {\vec {G}}=-4\pi \,G\,\rho$

où $G$ est la constante fondamentale de la gravitation, ${\vec {G}}$ le champ de gravitation et $\rho$ la masse volumique.

Flux du champ magnétique

En électromagnétisme il est possible de montrer, à partir de la loi de Biot et Savart, que la divergence du champ magnétique ${\vec {B}}$ est nulle :

$\operatorname {div} {\vec {B}}=0$

Cette propriété intrinsèque du champ magnétique permet d'établir que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul ; on dit que le champ magnétique est à flux conservatif. En effet, si on appelle $(S)$ la surface fermée considérée et $V$ le volume intérieur à cette surface, on a :

$\iint _{(S)}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} ({\vec {B}})\,\mathrm {d} V=0$

Expression de la divergence en dimension 3 dans d'autres systèmes de coordonnées

En coordonnées cylindriques

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rA_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$$

En coordonnées sphériques

En choisissant pour convention les notations physiques (conformément au standard ISO 31-11), soit $(x,y,z)\longrightarrow (r\cos \varphi \sin \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \theta ),0<\theta <\pi ,0<\varphi <2\pi$ :

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}$$

Voir aussi

Articles connexes

• Divergence d'un tenseur
• Rotationnel, gradient, nabla, laplacien
• Dérivée partielle, équation aux dérivées partielles
• Opérateur différentiel
• Théorème de Stokes
• Équations de Maxwell, équations de Navier-Stokes

Bibliographie

• Modèle:En Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (Modèle:2e révisée - 1982) Modèle:ISBN
• Modèle:Cours de physique de Feynman, Électromagnétisme I, ch. 2 et 3, InterEditions Modèle:ISBN
• Modèle:Lafontaine1
• François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation, Cassini, 1999 Modèle:ISBN