Drapeau (mathématiques)
Modèle:Voir homonymes En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :
Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces EModèle:Ind forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :
Si dModèle:Ind = i pour tout i (donc entre autres si k = n), alors le drapeau est dit total ou complet.
Base adaptée à un drapeau
À toute base (eModèle:Ind, …, eModèle:Ind) de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total, constitué des espaces successivement engendrés : Modèle:Retrait
Exemple : si E est l'espace ℝModèle:Ind[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, XModèle:2, …, XModèle:Exp) et sa dimension est n = m + 1. L'espace EModèle:Ind = {0} et les espaces EModèle:Ind = ℝModèle:Ind[X] successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.
Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs eModèle:Ind tels que eModèle:Ind appartient à EModèle:Ind mais pas à EModèle:Ind.
Drapeau stable par un endomorphisme
Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque EModèle:Ind est stable par u : Modèle:Retrait
Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace ℝModèle:Ind[X] et le drapeau formé des espaces ℝModèle:Ind[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X + 1)), de différence finie (P donne P(X + 1) - P)Modèle:Etc.
Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.
Les drapeaux dans le cadre euclidien
Lorsque E est un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.
Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.