Droite de Henry

Représentation graphique de la Droite de Henry

La droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations (d'une variable numérique continue). En cas d'ajustement, elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

Cette droite porte le nom du polytechnicien P.J.P. Henri (ou Henry) (1848 - 1907) qui l'a mise au point et en a enseigné l'utilisation à l'école d'artillerie dans les années 1880. Jules Haag, par la suite l'introduisit dans son cours à l'école d'artillerie de Fontainebleau. C'est une méthode voisine de la technique du Diagramme Quantile-Quantile appliquée aux distributions normales.

Principe

Si Modèle:Math est une variable gaussienne de moyenne Modèle:Surligner et de variance Modèle:Math, et si Modèle:Math est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

$\mathbb {P} (\mathrm {X} <x)=\mathrm {P} \left({\frac {\mathrm {X} -{\overline {x}}}{\sigma }}<{\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}\right)=\mathrm {P} (\mathrm {N} <t)=\Phi (t)$, avec $t={\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}$

(on note Modèle:Math la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur Modèle:Mvar de la variable Modèle:Math, on peut, à l'aide d'une [[Loi normale#Tables numériques et calculs|table de la fonction Modèle:Math]] :

• calculer Modèle:Math ;
• en déduire Modèle:Mvar tel que Modèle:Math.

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées Modèle:Math sont alignés sur la droite d'équation

$t={\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}$.

On compare donc les valeurs des quantiles de la loi empirique (Modèle:Mvar) aux quantiles de la loi normale centrée réduite Modèle:Mvar.

Cette méthode peut également se généraliser à d'autres distributions en comparant là encore les quantiles théoriques aux quantiles empiriques ; on parle parfois de « tracé quantile-quantile ».

Exemple numérique

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

• 10 % des candidats ont obtenu moins de 4
• 30 % des candidats ont obtenu moins de 8
• 60 % des candidats ont obtenu moins de 12
• 80 % des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît donc 4 valeurs Modèle:Mvar, et, pour ces 4 valeurs, on connaît Modèle:Math.

En utilisant la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les Modèle:Mvar correspondants :

Modèle:Mvar	Modèle:Math	Modèle:Mvar
4	0,10	-1,28
8	0,30	-0,524
12	0,60	0,253
16	0,80	0,842

Il suffit alors de tracer les points de coordonnées Modèle:Math.

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le coefficient directeur Modèle:Math est (0,842 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type Modèle:Mvar de 12/2,12 = 5,7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres Modèle:Math avec Modèle:Math et Modèle:Math.

Papier gausso-arithmétique

Dans le principe décrit précédemment, il est nécessaire de rechercher les t_i correspondant à chaque P(x < x_i), ce qui demande une lecture à l'envers de la table de la loi normale. Il est possible aussi de travailler sur un papier dont l'échelle en ordonnée utilise déjà cette conversion. En ordonnée, apparaissent deux graduations :

• à droite, une graduation arithmétique et
• à gauche les valeurs de Φ(t) correspondantes.

On place alors les points grâce à l'échelle de gauche.

Cette représentation graphique fournit très naturellement la moyenne qui correspond, pour une loi normale, à la médiane c'est-à-dire à l'abscisse du point d'ordonnée 50. Mais elle fournit aussi assez facilement l'écart type en utilisant les intervalles de confiance. Dans une distribution normale, de moyenne m et d'écart-type σ l'intervalle [m - σ ; m + σ] regroupe 68 % de la population. Il y a donc 16 % des valeurs inférieures à m - σ et 84 % des valeurs inférieures à m + σ. On lit donc

• la valeur m - σ comme l'abscisse du point d'ordonnée 16 et
• la valeur m + σ comme celle du point d'ordonnée 84.

L'écart entre ces deux abscisses permet de déterminer la valeur 2σ.

Ainsi, dans le graphique ci-dessous, la moyenne est d'environ 11 et l'écart-type est de (16,7 - 5,2)/2 soit environ 5,7.

Utilisation d'un papier gausso-arithmétique pour tracer une droite de Henry

Annexes

Liens internes

• Loi normale
• Ajustement linéaire
• Échelle logarithmique
• Diagramme Quantile-Quantile

Liens externes

• Modèle:Pdf Droite de Henry , échelle gausso-arithmétique et exercices
• Modèle:Pdf Comment construire un diagramme de Henry avec Excel et comment
• Droite de Henry sous MATLAB, aucune toolbox requise