Carré (algèbre)

Modèle:Voir homonymes Le carré d'un nombre est un autre nombre qui vaut le nombre initial multiplié par lui-même. De manière plus générale, tout être mathématique sur lequel il existe une multiplication possède un carré. Ainsi, on parle de carré d'une matrice ou encore d'une fonction.

La fonction carré désigne celle qui, à un nombre donné associe son carré. Cette fonction est paire, c'est-à-dire que l'image d'un nombre ou de son opposé est la même. Le carré de 4 ou de -4 est égal à 16. Le carré d'un nombre réel est toujours un nombre positif et, comme les nombres entiers ou même rationnels sont aussi des nombres réels, leurs carrés sont aussi positifs.

Tout nombre réel strictement positif est le carré d'exactement deux nombres, l'un strictement positif, l'autre strictement négatif, 0 est uniquement le carré de lui-même. Pour cette raison, il est possible de définir la fonction racine carrée, qui à un nombre réel positif, associe le seul nombre positif dont le carré est le nombre initial. La situation est un peu différente pour les nombres entiers, un entier positif n'est pas nécessairement le carré d'un autre nombre entier. La valeur 4 l'est, car 2² est égal à 4, mais 2 ne l'est pas. Un nombre entier qui est un carré d'un entier naturel est dit carré parfait.

Le terme de carré s'est imposé à une époque où la logique de l'algèbre géométrique était omniprésente. Un nombre était toujours positif et correspondait à la longueur d'un segment. Le carré de ce nombre était vu comme l'aire d'un carré de côté la longueur initiale.

Exemples :

• 5Modèle:2 = 25
• 1Modèle:2 = 1
• 10Modèle:2 = 100
• Modèle:Sqrt = 10

Généralités sur le carré

Quand on calcule le carré d'un nombre, on le multiplie par lui-même. Ainsi, les formes 12Modèle:2 et 12×12 sont équivalentes. Néanmoins, on préfère la forme 12Modèle:2 autant que possible pour sa clarté et sa concision. Un carré est toujours positif pour tout nombre réel.

Exemple : 12Modèle:2 = (–12)Modèle:2 = 12 × 12 = –12 × (–12) = 144.

Attention ! –(12Modèle:2) et (–12)Modèle:2 sont deux nombres différents. Le premier vaut –144 (on multiplie 12 par 12 puis par –1) et le deuxième 144 (le signe moins est englobé dans la parenthèse).

Le carré d'un nombre Modèle:Math est inférieur ou égal à ce dernier lorsque $0\leq x\leq 1$.

La racine carrée

Modèle:Article détaillé Comme on peut élever un nombre au carré, on peut aussi faire l'opération inverse : il s'agit de la racine carrée d'un nombre.

Dans une racine carrée Modèle:Sqrt, où Modèle:Math est un nombre réel positif, le symbole Modèle:Sqrt est appelé radical, et le réel Modèle:Math est le radicande. On peut alors dire que la racine carrée d'un nombre positif est égale au nombre positif qui, élevé au carré, vaut le radicande.

Condition d'existence

Une racine carrée ne peut exister dans l'ensemble des nombres réels que si le radicande est positif. Ainsi, Modèle:Sqrt n'est possible dans l'ensemble des nombres réels que si $a\geq 0$. Par contre, il est tout à fait possible d'écrire –Modèle:Sqrt, qui est alors égal à l'opposé du radicande.

Résoudre l'équation Modèle:Math dans l'ensemble des réels

Premier cas : Modèle:Math

Lorsque Modèle:Math est strictement inférieur à 0, cela revient à dire que Modèle:Math est strictement négatif. Or, dans l'ensemble des réels, le carré d'un nombre n'est jamais strictement négatif. Donc : $S=\varnothing$.

Deuxième cas : Modèle:Math

Lorsque Modèle:Math vaut 0, une seule solution est possible : 0 (puisque zéro est à la fois positif et négatif). Donc : $S=\left\{0\right\}$.

Troisième cas : Modèle:Math

L'équation a deux solutions : $S=\left\{-{\sqrt {a}};{\sqrt {a}}\right\}.$

Remarque : résoudre ${\sqrt {x}}=a$.

Si Modèle:Math est strictement négatif, l'équation n'a pas de solution. Donc : $S=\varnothing .$

Par contre si $a\geq 0$ alors $S=\{a^{2}\}$.

Caractère

En Unicode, le caractère est Modèle:Unichar.

Notes et références

Source principale de cet article : cours de mathématiques niveau Modèle:3e / Modèle:2de

Voir aussi

• Fonction carré
• Puissance
• Racine carrée
• Pour aller plus loin : Racine cubique