Carré parfait

En mathématiques, un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Les Modèle:Nobr carrés (Modèle:OEIS) sont :

0Modèle:2 = 0

5Modèle:2 = 25

10Modèle:2 = 100

15Modèle:2 = 225

20Modèle:2 = 400

25Modèle:2 = 625

30Modèle:2 = 900

35Modèle:2 = 1 225

40Modèle:2 = 1 600

45Modèle:2 = 2 025

50Modèle:2 = 2 500

55Modèle:2 = 3 025

60Modèle:2 = 3 600

65Modèle:2 = 4 225

1Modèle:2 = 1

6Modèle:2 = 36

11Modèle:2 = 121

16Modèle:2 = 256

21Modèle:2 = 441

26Modèle:2 = 676

31Modèle:2 = 961

36Modèle:2 = 1 296

41Modèle:2 = 1 681

46Modèle:2 = 2 116

51Modèle:2 = 2 601

56Modèle:2 = 3 136

61Modèle:2 = 3 721

66Modèle:2 = 4 356

2Modèle:2 = 4

7Modèle:2 = 49

12Modèle:2 = 144

17Modèle:2 = 289

22Modèle:2 = 484

27Modèle:2 = 729

32Modèle:2 = 1 024

37Modèle:2 = 1 369

42Modèle:2 = 1 764

47Modèle:2 = 2 209

52Modèle:2 = 2 704

57Modèle:2 = 3 249

62Modèle:2 = 3 844

67Modèle:2 = 4 489

3Modèle:2 = 9

8Modèle:2 = 64

13Modèle:2 = 169

18Modèle:2 = 324

23Modèle:2 = 529

28Modèle:2 = 784

33Modèle:2 = 1 089

38Modèle:2 = 1 444

43Modèle:2 = 1 849

48Modèle:2 = 2 304

53Modèle:2 = 2 809

58Modèle:2 = 3 364

63Modèle:2 = 3 969

68Modèle:2 = 4 624

4Modèle:2 = 16

9Modèle:2 = 81

14Modèle:2 = 196

19Modèle:2 = 361

24Modèle:2 = 576

29Modèle:2 = 841

34Modèle:2 = 1 156

39Modèle:2 = 1 521

44Modèle:2 = 1 936

49Modèle:2 = 2 401

54Modèle:2 = 2 916

59Modèle:2 = 3 481

64Modèle:2 = 4 096

69Modèle:2 = 4 761

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait nécessairement 0, 1, 4 ou 9.

Propriétés

Résidu quadratique

On dit qu'un entier Modèle:Mvar est un résidu quadratique modulo un entier Modèle:Mvar s'il existe un entier Modèle:Mvar tel que :

$q\equiv {n^{2}}{\bmod {m}}$.

C'est un concept très utile ; il permet notamment de montrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation $n^{2}=4k+2$ n'admet pas de solution dans $\mathbb {Z}$. En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.

Divers

On considère Modèle:Mvar et Modèle:Mvar des entiers naturels non nuls.

1. Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des carrés parfaits, alors le produit Modèle:Mvar est aussi un carré.
2. Si Modèle:Math où c est un entier, alors Modèle:Math forme un triplet pythagoricien. Par exemple, (3, 4, 5) en constitue un.
3. Modèle:Mvar est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
4. Si Modèle:Mvar est un carré parfait et que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont premiers entre eux, alors Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont aussi des carrés parfaits : ne pas oublier la seconde condition car 12×3 = 6² mais 12 n'est pas un carré parfait.
5. Modèle:Math et Modèle:Math ne sont pas des carrés.
6. Modèle:Mvar est un carré parfait si, et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.
7. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 dans le système décimal.
8. $\sum \limits _{i=1}^{a}i^{3}$ est un carré parfait. En fait, cette somme est égale à ${\left(\sum \limits _{i=1}^{a}i\right)}^{2}$.

Nombre carré

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré. Par exemple, 9 est un nombre carré puisqu'il peut être représenté par un carré de 3 × 3 points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant Modèle:Math.

Le produit de deux nombres carrés est un nombre carré.

La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par Modèle:Math points :

• 
  1 + 3 = 2Modèle:2 = 4
• 
  4 + 5 = 3Modèle:2 = 9
• 
  9 + 7 = 4Modèle:2
• 
  1 + 3 + 5 + 7 = 4Modèle:2

Le n-ième nombre carré est donc la somme des n premiers nombres impairs : Modèle:Retrait ce qui fournit un moyen pratique pour former une table de carrés : on écrit sur une première ligne les nombres entiers successifs dont on veut former les carrés, puis les nombres impairs successifs. Sur une troisième ligne, en commençant par 1, en ajoutant à chaque fois le nombre impair immédiatement à droite et au-dessus, on construit naturellement la suite des carrés parfaits. Cette propriété est aussi utilisée pour une méthode d'extraction de racine carrée et, plus pratiquement encore, pour l'extraction de racine carrée avec un boulier. Modèle:Clr

La somme du Modèle:3e triangulaire et du Modèle:4e est le Modèle:4e carré.

Le n-ième nombre carré est aussi égal à la somme du n-ième nombre triangulaire et du précédent : Modèle:Retrait Modèle:Clr

La somme de deux nombres carrés consécutifs est un nombre carré centré.

La somme des n premiers nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}.$

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité Modèle:Nobr qui débute l'étude des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à Modèle:Nobr avec Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entiers non nuls.

Voir aussi

Lien externe

Carré parfait sur recreomath.qc.ca