Coïncidence mathématique

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, une coïncidence mathématique est une expression de quasi-égalité entre deux quantités, sans qu'il y ait une explication théorique directe.

Introduction

Une coïncidence mathématique réside souvent dans le fait qu'un nombre réel est proche d'un nombre entier, ou plus généralement proche d'un nombre rationnel avec un petit dénominateur. Étant donné le très grand nombre de façons de combiner les expressions mathématiques, il en existe un très grand nombre.

Bien que les coïncidences mathématiques soient parfois utiles, elles sont principalement célèbres en tant que curiosités ou récréations mathématiques.

Quelques exemples

La base 2

• La coïncidence $2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$, vraie à 2,4 % près, renvoie à l'expression rationnelle ${\dfrac {\log 10}{\log 2}}\approx 3,219\approx {\dfrac {10}{3}}$, ou $2\approx 10^{3/10}$, vrai à 0,3 % près. Cette relation est utilisée en ingénierie, par exemple pour donner une approximation d'une puissance de 2 avec Modèle:Nombre (en fait Modèle:Nombre), ou pour passer d'Modèle:Nombre à Modèle:Nombre ; voir Préfixe binaire.
• En utilisant Modèle:Fraction comme approximation de Modèle:Math on trouve les approximations suivantes pour les logarithmes d'autres valeurs :
  • $3^{4}\approx 10\cdot 2^{3},$ amène à $\log _{10}3=(1+3\log _{10}2)/4\approx (1+9/10)/4=0,475$ (à comparer à 0,4771, vrai à 0,5 % près)
  • $7^{2}\approx 10^{2}/2,$ amène à $\log _{10}7\approx 1-\log _{10}2/2\approx 1-3/20=0,85$ (à comparer à 0,8451, vrai à 0,6 % près)

Les intervalles musicaux

• Les coïncidences $2^{11}\approx 3^{7}$ et ${\dfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1,5849...\approx {\dfrac {11}{7}}$ amènent à l'observation souvent utilisée en musique qui fait correspondre sept demi-tons de la gamme tempérée à une quinte de la gamme naturelle : $2^{7/12}\approx 3/2$, vrai à 0,1 % près. La quinte est la base de la gamme pythagoricienne et de la plupart des systèmes musicaux dans le monde.
• De l'approximation ${(3/2)}^{12}\approx 2^{7}$, il résulte que le cycle des quintes se termine sept octaves plus haut que l'origine.
• La quasi-équivalence entre les commas pythagoricien et syntonique : Modèle:Frac (23,46 cents) $\approx$ Modèle:Frac (21,50 cents) a des conséquences remarquables dans la construction des tempéraments, en particulier à l'époque baroque (voir Comma (musicologie)#Histoire et Comma pythagoricien#Utilisation).

Expressions numériques

Le nombre [[pi|Modèle:Math]]

• La première réduite de Modèle:Math par fraction continue ; [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, était connue d'Archimède, et elle est vraie à environ 0,04 % près.
• La troisième réduite de Modèle:Math, [3; 7, 15, 1] = Modèle:Fraction = 3,1415929…, trouvée par Zu Chongzhi (et redécouverte par Metius), est vraie sur six décimales, soit 85 pour un milliard ; cette extrême précision avec deux nombres inférieurs à mille vient du fait que Modèle:Math possède un quatrième terme inhabituellement élevé dans sa représentation en fraction continue : Modèle:Math = [3 ; 7, 15, 1, 292, …].
• $\pi ^{2}=9{,}8696\dots \approx 10$. Modèle:Douteux ;
• $\pi \approx {\sqrt {\frac {227}{23}}}$, à 10Modèle:Exp près Modèle:Pertinence détail ;
• $\pi \approx \left(9^{2}+{\dfrac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ juste sur huit décimales.

Le nombre [[e (nombre)|Modèle:Math]]

• Modèle:Pertinence détail
• Modèle:Pertinence détail

Formules avec Modèle:Math et Modèle:Math

• Modèle:Pertinence détail
• $\mathrm {e} ^{\pi }-\pi =19{,}99909998\dots \approx 20$ (Modèle:Refinc) ; cela équivaut à $(\pi +20)^{\mathrm {i} }=-0,9999999992\dots -\mathrm {i} \cdot 0{,}000\,039\dots \approx -1=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }$.
• Modèle:Pertinence détail

Formule avec Modèle:Math, Modèle:Math et le nombre d'or

Modèle:Pertinence section ${\frac {5\,\phi \,\mathrm {e} }{7\pi }}=1{,}0000097\dots$.

Formules avec Modèle:Math, Modèle:Math et le nombre 163

• Modèle:Refinc
• Modèle:Refinc
• Constante de Ramanujan : $\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}\approx$ 262 537 412 640 768 740 à 10Modèle:Exp près.

Note : $\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {n}}}$ est proche d'un entier pour de nombreuses valeurs de Modèle:Mvar, en particulier pour Modèle:Math, ce qui est expliqué par la théorie algébrique des nombres. Voir « Nombre de Heegner » et « Nombre presque entier ».

Formule avec [[Logarithme naturel#Articles connexes|Modèle:Math]]

Modèle:Pertinence section $\ln 2=0{,}693147\dots \approx 0{,}693144\dots =(2/5)^{(2/5)}$.

Coïncidences sur les unités

• $\pi$ secondes est un nanosiècle (c'est-à-dire $10^{-7}$ années) ; vrai à 0,5 % près.
• un attoparsec par microquinzaine est approximativement 1 pouce par seconde (en réalité Modèle:Nombre par seconde).
• un furlong par quinzaine (14 jours) est approximativement égal à Modèle:Nombre par minute.
• un attoparsec cubique (un cube d'un attoparsec de côté) est à 1 % près égal à Modèle:Nombre américaine.
• un mille international (mile) est environ $\phi$ kilomètres (vrai à 0,5 % près), où $\phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}$ est le nombre d'or. Puisque $\phi$ est la limite du ratio de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, cela donne une suite d'approximations de correspondances entre miles et kilomètres : $F_{n}$ mi = $F_{n+1}$ km, par exemple Modèle:Nombre = Modèle:Nombre, Modèle:Nombre = Modèle:Nombre.
• Une autre bonne approximation est : Modèle:Nombre = Modèle:Nombre. En effet, Modèle:Nombre = Modèle:Nombre et ln(5) = 1,6094379124341…
• N_A ≈ 2⁷⁹, où N_A est le nombre d'Avogadro ; vrai à environ 0,4 % près. Cela signifie qu'Modèle:Nombre est approximativement un peu plus du double d'une mole d'octets. Ceci signifie également qu'Modèle:Nombre de matière (c'est-à-dire Modèle:Nombre de carbone), ou Modèle:Nombre de gaz à température et pression normales, ne peuvent pas être divisés en deux plus de Modèle:Nombre.
• La vitesse de la lumière dans le vide est d'environ un pied par nanoseconde (vrai à 2 % près), ou encore Modèle:Nombre (vrai à 0,07 % près), ou enfin Modèle:Nombre de km/h (vrai à 7,93 % près)

Autres curiosités numériques

• $10!=6!\cdot 7!$ ou $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7=7\cdot 8\cdot 9\cdot 10$.
• $\sin(666^{\circ })=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ })=-\phi /2$, où $\phi$ est le nombre d'or (une égalité étonnante avec un angle exprimé en degrés). Voir Nombre de la bête.
• Modèle:Refnec
• $4^{2}=2^{4}$ est l'unique solution entière de $a^{b}=b^{a},a\neq b$ (voir fonction W de Lambert pour une preuve formelle).
• Modèle:Refnec
• 31, 331, 3331Modèle:Etc. jusqu'à 33333331 sont tous des nombres premiers, mais pas 333333331.
• Le nombre de Fibonacci F₂₉₆₁₈₂ est (probablement) un nombre semi-premier, puisque F₂₉₆₁₈₂ = F₁₄₈₀₉₁ × L₁₄₈₀₉₁ où F₁₄₈₀₉₁ (Modèle:Nombre) et le nombre de Lucas L₁₄₈₀₉₁ (Modèle:Nombre) sont deux nombres premiers probables.
• Dans le paradoxe des anniversaires, le nombre $\lambda ={\dfrac {1}{365}}{\binom {23}{2}}$ intervient ; il semble Modèle:Citation à certains auteurs que ses quatre premiers chiffres soient ceux de $\ln 2$.

Coïncidences décimales

• Modèle:Refnec
• $2^{5}\cdot 9^{2}=2592$.
• $1!+4!+5!=145$.
• ${\dfrac {16}{64}}={\dfrac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\dfrac {1}{4}}$,    ${\dfrac {26}{65}}={\dfrac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\dfrac {2}{5}}$,    ${\dfrac {19}{95}}={\dfrac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\dfrac {1}{5}}$
• $(4+9+1+3)^{3}=4913$ et $(1+9+6+8+3)^{3}=19683$ et $(5+8+3+2)^{3}=5832$
• $1^{3}+5^{3}+3^{3}=153$ ; $3^{3}+7^{3}+0^{3}=370$ ; $3^{3}+7^{3}+1^{3}=371$ ; $4^{3}+0^{3}+7^{3}=407$
• $3^{2}+7^{2}-3\cdot 7=(3^{3}+7^{3})/(3+7)=37$.
• $(3+4)^{3}=343$ (important dans le symbolisme numérique de la cathédrale Saint-Étienne de Vienne)
• $3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435$.
• $35-3^{2}-5^{2}=75-7^{2}-5^{2}$.
• $588^{2}+2353^{2}=5882353$ et $1/17=0,058823529411764...$ qui, arrondi à huit chiffres, fait 0,05882353
• Un nombre (parmi d'autres : Modèle:OEIS) qui égale la somme de ses chiffres aux puissances consécutives : $2646798=2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}.$

Voir aussi

Articles connexes

• Pour des coïncidences en physique, voir Principe anthropique.
• Nombre presque entier
• Nombre narcissique

Liens externes

• Modèle:En Modèle:Lang
• Modèle:En Des exemples de coïncidences mathématiques dans la section Science & Maths du site futilitycloset.com
• Modèle:En Modèle:Lang, Bande dessinée mathématique