Conjugué isotomique

En géométrie, le conjugué isotomique d’un point P par rapport à un triangle ABC est un autre point défini par rapport à P et ABC.

Construction

On considère un point P et un triangle ABC. Les droites (PA), (PB) et (PC) touchent les côtés BC, AC et AB respectivement aux points AModèle:', BModèle:' et CModèle:'. On construit les points A'Modèle:', B'Modèle:' et C'Modèle:', symétriques respectifs de AModèle:' par rapport au milieu de BC, BModèle:' par rapport au milieu de AC, et CModèle:' par rapport au milieu de AB. Les droites (AA'Modèle:'), (BB'Modèle:') et (CC'Modèle:') sont concourantes (c'est le théorème de Ceva) en un point qui est le conjugué isotomique de P par rapport au triangle ABC.

Existence du conjugué isotomique

Les droites (AAModèle:'), (BBModèle:') et (CCModèle:') sont concourantes. D'après le théorème de Ceva :

${\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1$.

Or, comme A'Modèle:', B'Modèle:' et C'Modèle:' sont les symétriques de AModèle:', BModèle:' et CModèle:' par rapport aux milieux des côtés, on obtient :

$AC'=BC'';C'B=C''A;BA'=CA'';A'C=A''B;CB'=AB'';B'A=B''C$

En remplaçant les anciennes valeurs par les nouvelles dans la relation ci-dessus :

${\frac {BC''}{C''A}}\cdot {\frac {CA''}{A''B}}\cdot {\frac {AB''}{B''C}}=1$.

D'après la réciproque du théorème de Ceva, (AA'Modèle:'), (BB'Modèle:') et (CC'Modèle:') sont bien concourantes.

Coordonnées

Si les coordonnées trilinéaires de P sont Modèle:Math, alors celles de son conjugué isotomique sont Modèle:Math,

Si les coordonnées barycentriques de P sont Modèle:Math, alors celles de son conjugué isotomique sont Modèle:Math, ou, de façon équivalente (en multipliant les coefficients par Modèle:Mvar) Modèle:Math.

Propriétés

• Le conjugué isotomique du centre de gravité est lui-même.
• Le conjugué isotomique du point de Lemoine (point de concours des symédianes d'un triangle) est le troisième point de Brocard.
• Le conjugué isotomique du point de Gergonne est le point de Nagel.

Notes et références

Modèle:Portail