Constantes de Stieltjes

Thomas Joannes Stieltjes.

En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}$.

On démontre que chaque $\gamma _{n}$ est donné par une limite :

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}$

$\gamma _{0}=\gamma \ =0{,}577...$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Propriétés

En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :

$\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{-n\mathrm {i} x}\zeta \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+1\right)\mathrm {d} x.$

Et une comparaison série-intégrale montre que :

$|\gamma _{n}|\leq \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$.

Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.

Matsuoka, en 1985, a montré que pour $n>4$,

$|\gamma _{n}|\leq 10^{-4}\mathrm {e} ^{n\ln \ln n}=10^{-4}(\ln n)^{n}.$

On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

Valeurs jusqu'à 15

Voici les quelques premières valeurs :

Valeurs approchées des coefficients de Stieltjes

	Valeur
$\gamma =\gamma _{0}$	0,Modèle:Unité
$\gamma _{1}$	−0,072 815 845 483 676 724 800 000 000 000 9
$\gamma _{2}$	−0,009 690 363 192 872 318 500 000 000 000 21
$\gamma _{3}$	0,002 053 834 420 303 345 870 000 000 000 75
$\gamma _{4}$	0,002 325 370 065 467 300 040 000 000 000 53
$\gamma _{5}$	0,000 793 323 817 301 062 700 000 000 000 000
$\gamma _{6}$	−0,000 238 769 345 430 199 600 000 000 000 000
$\gamma _{7}$	−0,000 527 289 567 057 751 100 000 000 000 000
$\gamma _{8}$	−0,000 352 123 353 803 039 500 000 000 000 000
$\gamma _{9}$	−0,000 034 394 774 418 088 050 000 000 000 000 2
$\gamma _{10}$	0,000 205 332 814 909 064 800 000 000 000 000
$\gamma _{11}$	0,000 270 184 439 543 903 500 000 000 000 000
$\gamma _{12}$	0,000 167 272 912 105 140 200 000 000 000 000
$\gamma _{13}$	−0,000 027 463 806 603 760 160 000 000 000 000 3
$\gamma _{14}$	−0,000 209 209 262 059 299 960 000 000 000 000
$\gamma _{15}$	−0,000 283 468 655 320 241 430 000 000 000 000

Voir aussi

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