Fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann Modèle:Math dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de Modèle:Math : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Modèle:Math = Modèle:Sfrac (droite verticale) sont les zéros.

Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.

En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le grand théorème de Fermat.

Premiers travaux sur la fonction zêta par Euler et Riemann

Article de Riemann de 1859 sur la fonction zêta.

Prologue

Le présent article commence par la définition de la fonction à partir de la série de Dirichlet puis cette définition est étendue au plan complexe privé de 1. On examine ensuite ce qui se passe en 1. La théorie de la fonction Modèle:Math de Riemann définit trois régions dans le plan complexe, la région de convergence [[partie réelle|Modèle:Math]] > 1, la bande critique 0 ≤ Modèle:Math(s) ≤ 1, et la région Modèle:Math < 0. À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. Cela nécessite des formules permettant d'estimer la fonction ou d'autres fonctions qui lui sont liées. Puis on étudie les zéros. La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l’ordre de ces zéros : ils sont simples. Dans la bande critique, il en existe une infinité. On estime donc ce nombre N(T) dans un rectangle de hauteur T. Le théorème de Hardy en place une infinité sur l'axe Modèle:Math = Modèle:Sfrac. On estime, avec beaucoup de difficulté, le nombre NModèle:Ind(T) des zéros dont la partie imaginaire est comprise entre 0 et T et dont la partie réelle est Modèle:Sfrac. Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. Enfin, les conjectures classiques sont examinées : définitions, conséquences, critères équivalents.

Les recherches sur la fonction zêta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.

La théorie de la fonction Modèle:Math de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. Comme l'explique la théorie générale des fonctions analytiques, toute fonction méromorphe s'écrit comme le produit de facteurs faisant apparaître les pôles et les zéros de cette fonction. L'hypothèse de Riemann selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction Modèle:Math de Riemann sont de partie réelle égale à Modèle:Sfrac renforce encore l'intérêt pour ces zéros. Aussi la théorie s'est-elle développée dans plusieurs directions : la première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. On a cherché à démontrer l'hypothèse de Riemann elle-même avant de se rendre compte des difficultés. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer.

Par exemple, on démontre que l'on a, sous l'hypothèse de Riemann, si Modèle:Math (où Modèle:Math est la constante d'Euler-Mascheroni), pour t assez grand :

$|\zeta (1+\mathrm {i} t)|\leq C\ln \ln t.$

Si l'on démontrait l'existence d'une suite (tModèle:Ind) tendant vers l'infini telle que

$|\zeta (1+\mathrm {i} t_{n})|>C\ln \ln t_{n},$

il en serait fini de l'hypothèse de Riemann.

Les conséquences de l'hypothèse de Riemann sont nombreuses. On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. Et chacune de ces conséquences est devenue un objectif en soi. Devant la difficulté posée par la démonstration de l'hypothèse de Riemann, on a aussi énoncé des hypothèses plus faibles qu'on a également tenté de démontrer, sans beaucoup plus de succès.

Premières considérations sur la fonction

Définition par la série de Riemann

La fonction zêta de Riemann pour les réels s > 1.

La fonction Modèle:Math de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe s tel que Modèle:Math > 1, par la série de Riemann :

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$.

D'après la théorie des séries de Dirichlet, on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence. La série ne converge pas en s = 1 car on a

$\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} u}{u}}=\ln(m+1)$

qui tend vers l'infini avec Modèle:Math (voir l'article détaillé « Série harmonique » pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). La valeur s = 1 est donc une singularité de la fonction.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul

Modèle:Voir Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction Modèle:Math pour les entiers strictement positifs pairs en utilisant l'expression de ${\frac {\sin x}{x}}$ sous forme de produit infini ; il en a déduit la formule :

$\zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\ =\ {\frac {|B_{2k}|\ (2\pi )^{2k}}{2\,(2k)!}}$

valable pour tout entier Modèle:Math, où les Modèle:Math sont les nombres de Bernoulli ($B_{0}=1,\quad B_{2}={\frac {1}{6}},\quad B_{4}=-{\frac {1}{30}},\quad B_{6}={\frac {1}{42}},\quad B_{8}=-{\frac {1}{30}},\quad \ldots$).

Ces valeurs de Modèle:Math s'expriment donc à l'aide des puissances paires de [[Pi|Modèle:Math]] :

$\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$\quad ;\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}\quad ;\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}\quad ;\quad \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\quad ;\quad \dots$

La formule $\zeta (2k)=\ {\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}\ (2\pi )^{2k}}{2\,(2k)!}}$ s'étend à Modèle:Math avec $\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$ Modèle:Infra.

On peut écrire le développement en série de Taylor : $-{\frac {x}{2}}\;\operatorname {cotan} {\frac {x}{2}}=-1+\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }2\zeta {(2n)}{\frac {x^{2n}}{(2\pi )^{2n}}},\,|x|<2\pi .$

On en déduit que la série génératrice des Modèle:Math pour Modèle:Math est donnée par :

$\sum _{k\in \mathbb {N} }\zeta (2k)x^{2k}=-{\frac {\pi x}{2}}\cot(\pi x),\,|x|<1$.

Par exemple, on a : $\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}=0$, d'où on déduit la somme des séries : $\qquad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}={\frac {1}{2}}\qquad$ et $\qquad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{2^{2n}}}={\frac {1}{6}}$.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier impair

Pour les entiers impairs, le calcul n'est pas si simple. Ramanujan a beaucoup travaillé sur ces séries et Apéry a démontré en 1979 que Modèle:Math, qui vaut environ Modèle:Math, est irrationnel (voir les articles « Constante d'Apéry » et « Théorème d'Apéry »).

En 2000, Tanguy Rivoal a démontré qu'il existe une infinité de nombres irrationnels parmi les valeurs aux entiers impairs. En 2001, Modèle:Lien a démontré que l'un au moins des quatre nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9) et ζ(11) est irrationnel.

On conjecture que toutes les valeurs aux entiers impairs sont irrationnelles et même algébriquement indépendantes sur [[Extension simple|ℚ(Modèle:Math)]], en particulier transcendantes.

Valeurs numériques particulières utilisées en physique

• $\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)\approx 2{,}612\;375$.Modèle:Retrait
• $\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}644\;934$ ;
• $\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1{,}202\;056\;903.$Modèle:Retrait
• $\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}082\;3$.Modèle:RetraitModèle:RetraitModèle:Retrait

Développements en série de Dirichlet en lien avec quelques fonctions arithmétiques

À partir de la série de Dirichlet de Modèle:Math on démontre les formules suivantesModèle:,, en faisant appel à la convolution de Dirichlet des fonctions arithmétiques qui vérifie :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f*g(n)}{n^{s}}}$.

Si Modèle:Math > 1,

$\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction nombre de diviseurs (également notée d) : $\tau (n)=\sum _{d\mid n}1,$ $\zeta ^{2}(s)=1+{\dfrac {2}{2^{s}}}+{\dfrac {2}{3^{s}}}+{\dfrac {3}{4^{s}}}+{\dfrac {2}{5^{s}}}+{\dfrac {4}{6^{s}}}+{\dfrac {2}{7^{s}}}+\ldots ,$

puisque $\tau ={\mathbf {1} }*{\mathbf {1} }.$

Si Modèle:Math > 2,

$\zeta (s)\zeta (s-1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction somme des diviseurs : $\sigma (n)=\sum _{d\mid n}d$,

puisque $\sigma ={\rm {Id}}*{\mathbf {1} }.$

Les deux dernières formules sont des cas particuliers de l'égalité valide pour Modèle:Math avec $a\in \mathbf {C}$

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction diviseur à la puissance Modèle:Math : $\sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid n}d^{a}$,

puisque $\sigma _{a}={\rm {Id}}^{a}*{\mathbf {1} }.$

Si Modèle:Math > 1,

${\frac {1}{\zeta (s)}}=1-{\dfrac {1}{2^{s}}}-{\dfrac {1}{3^{s}}}-{\dfrac {1}{5^{s}}}+{\dfrac {1}{6^{s}}}-{\dfrac {1}{7^{s}}}+{\dfrac {1}{10^{s}}}-{\dfrac {1}{11^{s}}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction de Möbius,

puisque $\delta _{1}={\mathbf {1} }*\mu .$

En 1899, La Vallée Poussin démontra qu'il existe une constante K telle que $\left|\sum _{n=1}^{x}{\frac {\mu (n)}{n}}\right|<{\frac {K}{\ln x}}$, de sorte que la série précédente converge également pour s = 1, vers 0 :

$0=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=1-{\dfrac {1}{2}}-{\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {1}{6}}-{\dfrac {1}{7}}+{\dfrac {1}{10}}-{\dfrac {1}{11}}-{\dfrac {1}{13}}+{\dfrac {1}{14}}+{\dfrac {1}{15}}-{\dfrac {1}{17}}-{\dfrac {1}{19}}+{\dfrac {1}{21}}+{\dfrac {1}{22}}+\ldots$

Ce résultat, conjecturé par Euler, avait déjà été démontré par von Mangoldt en 1897. Von Mangoldt utilise dans sa preuve le théorème des nombres premiers, démontré en 1896. Et ce dernier théorème est en fait équivalent à la convergence vers 0 de la série ci-dessus, comme l'a finalement établi Edmund Landau en 1911Modèle:,.

Si Modèle:Math > 2,

${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est l'indicatrice d'Euler,

puisque l'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalité ${\rm {Id}}*\mu =\varphi .$

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Modèle:Math avec $k\in \mathbf {N^{*}}$,

${\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction totient de Jordan,

puisque $J_{k}=\mu *{\rm {Id}}^{k}$

Si Modèle:Math > 1,

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction de Liouville. ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}-{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}-\ldots$,

puisque la fonction de Liouville vérifie l'égalité ${\mathbf {1} }_{Q}*\mu =\lambda ,$ où ${\mathbf {1} }_{Q}$ est la fonction caractéristique (ou indicatrice) des carrés.

Si Modèle:Math > 1,

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\mu (n))^{2}}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction de Möbius,

puisque ${\mathbf {1} }={\mathbf {1} }_{Q}*|\mu |.$

Si Modèle:Math > 1,

${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}$, où Modèle:Math(n) désigne le nombre de facteurs premiers distincts de n,

puisque $\tau ={\mathbf {1} }_{Q}*2^{\nu }.$

Si Modèle:Math > 1,

${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction nombre de diviseurs (également notée d).

Si Modèle:Math > 2,

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)\zeta (s-2)}{\zeta (2s-2)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n^{2})}{n^{s}}}.$

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Modèle:Math avec $a\in \mathbf {C}$,

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}},$

puisque ${\mathbf {1} }*{\rm {Id}}^{a}*{\rm {Id}}^{2a}=(\sigma _{a}\circ {\rm {Id}}^{2})*{\rm {Id}}_{Q}^{a}.$ où ${\rm {Id}}_{Q}^{a}={\mathbf {1} }_{Q}{\rm {Id}}^{a}$

Si Modèle:Math > 1,

${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}.$

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Modèle:Math et $\vartheta \in \mathbf {R}$,

${\frac {\zeta (s)^{2}\zeta (s+\mathrm {i} \vartheta )\zeta (s-\mathrm {i} \vartheta )}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\sigma _{\mathrm {i} \vartheta }(n)|^{2}}{n^{s}}}.$

Les deux dernières formules sont des cas particuliers de la formule de Ramanujan valable si Modèle:Math avec $a\in \mathbf {C}$ et $b\in \mathbf {C}$,

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}},$

ce qui se déduit de la relation ${\mathbf {1} }*{\rm {Id}}^{a}*{\rm {Id}}^{b}*{\rm {Id}}^{a+b}=(\sigma _{a}\sigma _{b})*{\rm {Id}}_{Q}^{{\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}}.$

Produit eulérien

Leonhard Euler par Emanuel Handmann.

Le lien entre la fonction Modèle:Math et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour Modèle:Nowrap

$\zeta (s)\ =\ \prod _{p\in {\mathcal {P}}}\ {\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }}$

où le produit infini est étendu à l'ensemble $\scriptstyle {\mathcal {P}}$ des nombres premiers. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique. On appelle parfois cette formule produit eulérien.

Lien avec la répartition des nombres premiers

Un autre lien existe avec cette fois la [[fonction de compte des nombres premiers|fonction de comptage Modèle:Math des nombres premiers]] inférieurs ou égaux à Modèle:Math :

$\pi (x)=\sum _{p\in {\mathcal {P}},p\leq x}1.$

On a en effet, pour Modèle:Math > 1 :

$\ln \zeta (s)=s\int _{2}^{\infty }{{\frac {\pi (u)}{u(u^{s}-1)}}\mathrm {d} u}.$

En fait, la position des zéros de la fonction Modèle:Math de Riemann fournit la position des nombres premiers. On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction Modèle:Math de Riemann.

Expression intégrale

On a la formule intégrale, classique depuis Euler, valide si Modèle:Math > 1 :

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln u)^{s-1}}{1-u}}\,\mathrm {d} u$

où Modèle:Math désigne la fonction gamma, ce qui (par changement de variable) équivaut à :

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t$.

On peut voir cette formule comme un cas particulier d'une transformation générale aux séries de Dirichlet. Elle se traduit en disant que la fonction $s\mapsto \zeta (s)\operatorname {\Gamma } (s)$ est la transformation de Mellin de la fonction $t\mapsto {\frac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}$.

Dérivées de la fonction zêta

Une expression de la dérivée de la fonction Modèle:Math est donnée par la série de Dirichlet, convergente si Modèle:Math > 1 :

$\zeta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots \right)=-\left({\frac {\ln 2}{2^{s}}}+{\frac {\ln 3}{3^{s}}}+{\frac {\ln 4}{4^{s}}}+\cdots \right)=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{s}}}.$

La dérivée d'ordre k est donnée par :

$\zeta ^{(k)}(s)=(-1)^{k}\,\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(\ln n)^{k}}{n^{s}}}.$

Que devient la série de Riemann sur l'axe Modèle:Math = 1 ?

La théorie des séries de Dirichlet montre que pour Modèle:Math, la série de Riemann $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$ diverge grossièrement si Modèle:Math, converge absolument si Modèle:Math et diverge si Modèle:Math et Modèle:Math.

Dans le cas restant (Modèle:Math mais Modèle:Math), pour montrer qu'elle diverge aussi et préciser comment, il suffit d'affiner un peu la comparaison série-intégrale :

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-\int _{1}^{N+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n^{s}}}-\int _{n}^{n+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}\right)$

or

$\left|{\frac {1}{n^{s}}}-\int _{n}^{n+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}\right|=\left|\int _{n}^{n+1}\int _{n}^{u}{\frac {s{\rm {d}}v}{v^{s+1}}}{\rm {d}}u\right|\leq {\frac {|s|}{n^{\sigma +1}}}$

donc la série correspondante converge. Quant à l'intégrale $\int _{1}^{N+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}$, elle est égale, à une constante près, à ${\frac {(N+1)^{1-s}}{1-s}}$, de module ${\frac {(N+1)^{1-\sigma }}{\sqrt {(1-\sigma )^{2}+t^{2}}}}$.

• si Modèle:Math, il en résulte que lorsque Modèle:Math tend vers l'infini, ce terme prend des oscillations de plus en plus importantes : la série diverge.
• si Modèle:Math (et Modèle:Math), le module devient égal à Modèle:Math, mais l'argument ([[Cercle unité|Modèle:Math]]) ne tend pas vers une constante : la série diverge mais ses oscillations restent bornées par Modèle:Math.

Extension à ℂ \ {1}

La fonction Modèle:Math admet un prolongement analytique à [[Différence ensembliste|tout le plan complexe, sauf Modèle:Math]]. Il existe plusieurs démonstrations, faisant appel à différentes représentations de la fonction Modèle:Math.

Par la formule d'Euler-Maclaurin

La formule d'Euler-Maclaurin, appliquée à la fonction Modèle:Math sur l'intervalle [1, N], donne pour tout entier n différent de 0 :

$\sum _{r=1}^{N}r^{-s}={{1-N^{1-s}} \over {s-1}}+{{1+N^{-s}} \over 2}+\sum _{k=2}^{n}B_{k}{\frac {s(s+1)\dots (s+k-2)}{k!}}(1-N^{-s-k+1})-R_{n,N}(s),$

où les coefficients Modèle:Math sont les nombres de Bernoulli (ils sont nuls si k est impair et différent de 1),

$R_{n,N}(s)={1 \over {n!}}s(s+1)\dots (s+n-1)\int _{1}^{N}B_{n}(x-[x])x^{-s-n}\mathrm {d} x,$

où les Modèle:Math sont les polynômes de Bernoulli et où Modèle:Math désigne la partie entière de Modèle:Math.

En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan Modèle:Math > 1, on en déduit pour tout entier n = 1, 2, 3… que

$\zeta (s)={1 \over {s-1}}+{1 \over 2}+\sum _{k=2}^{n}B_{k}{\frac {s(s+1)\dots (s+k-2)}{k!}}-{\frac {s(s+1)\dots (s+n-1)}{n!}}\int _{1}^{\infty }B_{n}(x-[x])x^{-s-n}\mathrm {d} x.$

Les fonctions Modèle:Math étant périodiques et polynomiales sur [0 ; 1[, elles restent bornées sur l'intervalle d'intégration, donc l'intégrale à droite converge si Modèle:Math > 1 – n. Donc le membre de droite définit, sur Modèle:Nobr une fonction Modèle:MathModèle:Ind, holomorphe en dehors de 1, qui prolonge Modèle:Math. L'unicité du prolongement analytique montre que les fonctions Modèle:MathModèle:Ind et Modèle:MathModèle:Ind sont identiques sur Modèle:Math > 1 – n. Ces identités permettent donc de définir une unique fonction méromorphe sur tout le plan complexe (avec un seul pôle en 1), coïncidant avec la fonction Modèle:Math déjà définie pour Modèle:Math > 1 et qu'on appelle encore Modèle:Math.

Par une intégrale sur ℝModèle:Exp

On part de l'expression intégrale vue plus haut, pour tout complexe s tel que Modèle:Math > 1 :

$\Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{{\rm {e}}^{t}-1}}\mathrm {d} t.$

La continuation analytique est réalisée en écrivant

$\Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{1}{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t+\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t.$

La seconde intégrale est une fonction holomorphe de s. On décompose en série de Taylor dans la première. Les Modèle:Math désignant les nombres de Bernoulli, comme on a, pour tout t tel que | t | < 2Modèle:Math

${\frac {t}{{\rm {e}}^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}t^{n}}{n!}},$

en remplaçant dans la première intégrale et en intégrant terme à terme, on trouve

$\zeta (s)={\frac {1}{(s-1)\Gamma (s)}}+{\frac {1}{\Gamma (s)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!(n+s-1)}}+{\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t.$

La série est convergente et définit une fonction holomorphe partout sauf aux entiers négatifs ou nuls (car pour s différent de ces valeurs, le rayon de convergence de la série entière de coefficients Modèle:Math n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les n + s – 1) et de même, au voisinage d'un entier négatif – k, elle est la somme d'une fonction holomorphe et du terme ${\frac {B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}}.$

Quand s tend vers – k, Modèle:Math(s) ayant un pôle simple en s = – k , Modèle:Math est par conséquent la somme d'une fonction qui tend vers 0 et du terme :

${\frac {1}{\Gamma (s)}}~{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}}~{\underset {\overset {s\to -k}{}}{\sim }}~{\frac {s+k}{{\text{Res}}(\Gamma ,-k)}}~{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}}=(-1)^{k}~k!~{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}.$

Ainsi, le prolongement méromorphe de Modèle:Math à tout le plan complexe n'a de pôle qu'au point 1, et l'on obtient au passage la formule d'Euler :

$\zeta (-k)=(-1)^{k}{\frac {B_{k+1}}{k+1}}$.

Par une intégrale de contour

La fonction Modèle:Math se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale

$\zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi s}\Gamma (1-s)}{2\mathrm {i} \pi }}\oint _{C}{{\frac {u^{s-1}}{\mathrm {e} ^{u}-1}}\mathrm {d} u},$

Modèle:Math étant la fonction gamma.

Modèle:Math désigne un lacet longeant l'axe réel et englobant 0 parcouru de Modèle:Math à Modèle:Math dans le sens trigonométrique.

Une fois cette formule démontrée initialement pour Modèle:Math > 1, l'expression à droite restant valable pour tout valeur bornée de s définit donc une fonction analytique. D'après le théorème du prolongement analytique, elle représente le prolongement (sauf en s = 1) de la fonction Modèle:Math.

Par la formule sommatoire d'Abel

Utilisant la formule sommatoire d'Abel, on trouve pour Modèle:Math > 1,

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{{\frac {[u]}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}.$

La partie entière Modèle:Math se décompose en Modèle:Math, où Modèle:Math désigne la partie fractionnaire de Modèle:Math. On a alors :

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}.$

Comme Modèle:Math est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente pour Modèle:Math > 0. À partir du prolongement pour Modèle:Math > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (valide pour 0 < Modèle:Math < 1, voir plus loin), on obtient le prolongement pour Modèle:Math ≤ 0 (sauf en s = 0).

Par la fonction êta de Dirichlet

On peut encore étendre la fonction Modèle:Math sur Modèle:Math > 0 à partir de la définition de la série alternée (appelée fonction êta de Dirichlet) :

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}-{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots$.

Cette série est convergente pour s réel strictement positif, par application du critère des séries alternées ; il en est en fait de même pour Modèle:Math > 0, ce qui se démontre en utilisant le lemme d'Abel (on peut aussi montrer plus simplement la convergence absolue de la série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{s}-(2n-1)^{s}}{(2n)^{s}(2n-1)^{s}}}$).

${\text{Si}}\quad {\text{Re}}(s)>1,\qquad \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\eta (s)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{s}}}=\eta (s)+{\frac {2}{2^{s}}}\zeta (s),\quad {\text{donc}}$ $:(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s),\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}}$ $\zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}}.$

Cela réalise ainsi le prolongement de la fonction Modèle:Math sur Modèle:Math > 0, sauf pour

$s=1+\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{\ln(2)}}\qquad (k\in \mathbb {Z} )$

qui sont les zéros de 1 – 2Modèle:Exp.

À partir du prolongement pour Modèle:Math > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (voir plus loin), on obtient le prolongement partout sauf en ces points.

Pour ces points, on peut appliquer soit la série de Dirichlet de Modèle:Sfrac, qui converge sur Modèle:Math = 1, soit une autre relation du même genre.

De ce que

$0<{\frac {1}{3n-2}}+{\frac {1}{3n-1}}-{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{3n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{3}}}\right),$

où O est la notation de Landau, on déduit que la série

$\zeta _{3}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{(3n-2)^{s}}}+{\frac {1}{(3n-1)^{s}}}-{\frac {2}{(3n)^{s}}}\right)}=1+{\frac {1}{2^{s}}}-{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {2}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}-{\frac {2}{9^{s}}}+\cdots$

est convergente pour Modèle:Math = 1. En procédant comme pour la fonction Modèle:Math, on montre que :

$\zeta (s)={\frac {\zeta _{3}(s)}{1-{3^{1-s}}}}.$

Il suffit donc de calculer la série seulement pour ces points car [[Nombre irrationnel#Exemples de nombres irrationnels|Modèle:Math se trouvant irrationnel]], le dénominateur 1 – 3Modèle:Exp ne peut être nul en même temps que 1 – 2Modèle:Exp (sauf pour s = 1).

La fonction êta vérifie également

$\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}~\mathrm {d} x.$

On déduit, pour Modèle:Math > 0, sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction êta de Dirichlet pour les points Modèle:Math, l'expression intégrale :

$\zeta (s)={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{1}{\frac {|\ln u|^{s-1}}{1+u}}\mathrm {d} u.$

ou

$\zeta (s)={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{1+\mathrm {e} ^{t}}}\,\mathrm {d} t.$

Par la formule de Landau ou celle de Ramaswami

Dans les formules précédentes, il est à remarquer que le prolongement ne s'obtient que dans une portion du plan et qu'il faut utiliser la relation fonctionnelle pour avoir un prolongement au plan tout entier. Les deux formules qui suivent n'ont pas ce défaut. Ces deux autres méthodes de prolongement de Modèle:Math, sans conteste les plus simples, sont fondées, chacune, sur une formule exprimant Modèle:Math en fonction de Modèle:Math(s + 1), Modèle:Math(s + 2), …

On a ainsi la formule publiée par Edmund Landau :

$\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}=1-s{\frac {\zeta (s+1)-1}{2!}}-s(s+1){\frac {\zeta (s+2)-1}{3!}}-s(s+1)(s+2){\frac {\zeta (s+3)-1}{4!}}-\ldots$ $\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}=1-\sum _{k=1}^{\infty }s^{\overline {k}}\,{\frac {\zeta (s+k)-1}{(k+1)!}}\!$ ,

$s^{\overline {k}}$ étant la factorielle croissante. La démonstration se fait en écrivant que $s^{\overline {k}}\,{\frac {\zeta (s+k)-1}{(k+1)!}}={\frac {1}{1-s}}{1-s \choose k+1}\sum _{n=2}^{\infty }n^{1-s-(k+1)}$ puis en inversant $\sum _{k}$ et $\sum _{n}$ et en utilisant la série binomiale $(1+{\frac {1}{n}})^{1-s}=\sum _{k=0}^{\infty }{1-s \choose k}n^{-k}$.

On a aussi la formule de RamaswamiModèle:, :

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)={\frac {s}{1!}}{\frac {\zeta (s+1)}{2^{s+1}}}+{\frac {s(s+1)}{2!}}{\frac {\zeta (s+2)}{2^{s+2}}}+{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}{\frac {\zeta (s+3)}{2^{s+3}}}+\ldots$ $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s^{\overline {n}}}{n!}}{\frac {\zeta (s+n)}{2^{s+n}}}.$

Le prolongement analytique s'effectue par bandes de largeur 1. La série de Dirichlet étant absolument convergente sur Modèle:Math > 1, la formule choisie prolonge sur Modèle:Math > 0. En appliquant à nouveau la formule, on prolonge à Modèle:Math > –1, et ainsi de suite.

Propriétés diverses de la fonction

Développement de Laurent au voisinage de 1

Thomas Joannes Stieltjes s'intéressa de près à la fonction Modèle:Math de Riemann. Il est l'auteur d'une tentative avortée de démonstration de l'hypothèse de Riemann à partir d'une hypothèse voisine de celle de Mertens qu'il fut incapable de démontrer.

On a vu plus haut que :

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}$.

Comme Modèle:Math est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente et le terme est borné. Le premier terme vaut aussi ${\frac {s}{s-1}}={\frac {1}{s-1}}+1$, ce qui montre que la fonction Modèle:Math admet un pôle d'ordre 1 en Modèle:Math et de résidu Modèle:Math. Cela constitue le théorème de Dirichlet. Le développement en série de Laurent de la fonction Modèle:Math s'écrit donc

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}}$.

Les coefficients $\gamma _{n}$, appelés constantes de Stieltjes ou nombres de Stieltjes, sont donnés par :

$\gamma _{n}=\lim _{N\to \infty }\left({\sum _{k=1}^{N}{{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln N)^{n+1}}{n+1}}}}\right)$.

En particulier, $\gamma _{0}$ est la constante d'Euler-Mascheroni : $\gamma _{0}=\gamma =0{,}5772\ldots$.

Matsuoka, en 1985, a montré que :

$\forall n>4\quad |\gamma _{n}|\leq 10^{-4}(\ln n)^{n}$.

On sait aussi qu'asymptotiquement, la moitié de ces nombres sont positifs.

L'équivalent $\zeta (s)\sim _{1}{\frac {1}{s-1}}$ montre que Modèle:Math est négative sur l'axe réel juste avant Modèle:Math (elle est positive après Modèle:Math de manière élémentaire puisque tous les termes de la série de Dirichlet sont alors positifs).

Le développement de Laurent à l'ordre 0, $\zeta (1+\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon }}+\gamma +o(1)$, donne la « valeur principale de Cauchy de la fonction » en Modèle:Math :

$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma$.

Relation fonctionnelle

La fonction Modèle:Math satisfait à l'équation fonctionnelle :

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

valable pour tout nombre complexe s différent de 0 et 1, démontrée par Riemann en 1859. Ici, Modèle:Math désigne la fonction gamma.

Représentation de la fonction zêta sur l'axe des réels entre –7 et 7.

De la relation fonctionnelle, on déduit que, pour s différent de 0 et de 1 :

$\zeta (1-s)={2 \over (2\pi )^{s}}\,\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (s)\,\zeta (s).$

La Modèle:Lien définie pour s différent de 0 et de 1 par

$\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)\quad$

vérifie

$\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s).$

On en déduit que la fonction

$\Xi (\sigma )=\xi \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} \sigma \right)$

est paire : Modèle:Math.

On retrouvera ces deux fonctions dans l'étude des zéros non triviaux de Modèle:Math.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier négatif ou nul

Valeurs de la fonction zêta entre –14 et –0,9.

De la définition de la fonction zêta [[#Par une intégrale sur .E2.84.9D.2B|par une intégrale sur ℝModèle:Exp]], on a déduit que pour tout entier naturel Modèle:Math, Modèle:Math est le nombre rationnel suivant :

$\zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$

où Modèle:Math est un nombre de Bernoulli.

Pour Modèle:Math = 0, on a :

$\zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$

Si Modèle:Math est pair mais non nul, le nombre de Bernoulli Modèle:Math est nul, d'où, avec Modèle:Math et Modèle:Math :

$\zeta (-2k)={\frac {B_{2k+1}}{2k+1}}=0.$ $\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\zeta (-8)=\ldots =0.$

Si Modèle:Math est impair, Modèle:Math avec Modèle:Math :

$\zeta (-(2k-1))=-{\frac {B_{2k}}{2k}}.$

Par exemple :

$\zeta (-1)=-{\frac {B_{2}}{2}}=-{\frac {1}{12}},$

C'est cette relation que Ramanujan écrivit en 1910 dans un article du Journal of the Indian Mathematical Society sous la forme :

« $1+2+3+4+5+\ldots =-{\frac {1}{12}}.$ »

$\zeta (-3)=-{\frac {B_{4}}{4}}={\frac {1}{120}}\quad ;\quad \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}\quad ;\quad \zeta (-7)={\frac {1}{240}}\quad ;\quad \zeta (-9)=-{\frac {1}{132}}.$

Définition de Modèle:Math et de sa dérivée

La fonction Modèle:Math étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. Il est donc naturel de choisir, parmi l'infinité des définitions possibles du logarithme d'une fonction analytique, celle qui prolonge le logarithme naturel sur la demi-droite Modèle:Math. On prolonge donc par continuité les valeurs de Modèle:Math qui sont réelles sur Modèle:Math.

Présentation élémentaire pour les nombres complexes du demi-plan Re(s) > 1

On part de la formule du produit eulérien, dont on sait qu'il converge pour tout s dans Modèle:Math > 1. On peut se limiter à considérer dans un premier temps s = σ réel. On prend le logarithme du produit. Cela a un sens puisque Modèle:Math(σ) ne s'annule pas sur σ > 1. On a alors

$\ln \zeta (\sigma )=-\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\ln \left(1-{\frac {1}{p^{\sigma }}}\right).$

Il reste à développer le logarithme en série entière, ce qui est possible puisque p ≥ 2 et σ > 1. Cela justifie que l'on définisse, pour tout complexe s satisfaisant Modèle:Math > 1 la série :

$D(s)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{\nu \geq 1}{\frac {1}{\nu p^{\nu s}}}.$

Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi-plan Modèle:Math > 1, définit une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Si s = σ > 1 est réel, alors $\sum _{\nu \geq 1}{\frac {1}{\nu p^{\nu s}}}=-\ln \left(1-{\frac {1}{p^{\sigma }}}\right)$ où Modèle:Math est le logarithme réel habituel. On en déduit que Modèle:Math. Les deux fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont holomorphes sur Modèle:Math > 1 et elles coïncident sur la demi-droite Modèle:Math. Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc

$\mathrm {e} ^{D(s)}=\zeta (s)\$

pour tout complexe s tel que Modèle:Math > 1. Par dérivation de l'égalité précédente, on obtient immédiatement $D'(s)={\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}$. En dérivant la série définissant D, on obtient :

$D'(s)=-\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{\nu \geq 1}{\frac {\ln p}{p^{\nu s}}}$

de sorte que l'on a, pour Modèle:Math > 1, l'égalité :

$D'(s)={\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}$

où les seules valeurs de Modèle:Math(n) non nulles sont définies par Modèle:Math(n) = Modèle:Math p lorsque n = pModèle:Exp, p étant premier et m entier non nul. Il s'agit de la fonction de von Mangoldt. La définition de la série D se réécrit alors

$D(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}}.$

Enfin en prenant le module de Modèle:Math on obtient Modèle:Math puis, prenant le logarithme réel on déduit

${\text{Re}}{\Big (}D(s){\Big )}=\ln |\zeta (s)|.$

Convergence des séries de Dirichlet de Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sur la droite Re(s) = 1

Pour les séries de Dirichlet de Modèle:Math et Modèle:Math,

$\ln \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}}.$ ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$, où Modèle:Math est la fonction de Möbius,

l'application de la deuxième formule de Perron montre qu'elles convergent sur l'axe Modèle:Math en dehors de Modèle:Math, tandis que la série de Dirichlet de Modèle:Math

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}$

diverge en tout point de l'axe 1.

Extension de Modèle:Math à Re(s) ≤ 1

Pour les complexes s autres que 1 tels que Modèle:Math ≤ 1, la définition du logarithme de Modèle:Math est plus délicate. La fonction Modèle:Math ayant une infinité de zéros, Modèle:Math admet une infinité de points de branchement. Dans les calculs, on pratique alors des coupures de la manière suivante. Une première coupure est pratiquée entre –2 et 1 (qui est aussi un point de branchement bien que Modèle:Math ne s'y annule pas). Pour les zéros triviaux, une coupure est pratiquée sur les intervalles [–4n – 4, –4n – 6[ pour tout n ≥ 0. Pour les autres zéros, encore hypothétiques, de la forme Modèle:Math avec Modèle:Math ∈ ]0, 1[, ils sont répartis symétriquement par rapport à l'axe Modèle:Math = Modèle:Sfrac. On pratique donc également une coupure parallèle à l'axe réel en reliant les deux zéros symétriques par rapport à l'axe Modèle:Math = Modèle:Sfrac. Pour les zéros de l'axe Modèle:Math = Modèle:Sfrac, la coupure pratiquée relie le point à l'infini au zéro considéré par une ligne parallèle à l'axe réel. Ce faisant, la fonction Modèle:Math est alors uniforme sur le domaine coupé.

Le choix effectué donne

${\text{Re}}{\Big (}\ln \zeta (s){\Big )}=\ln |\zeta (s)|.$

Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens

La fonction Modèle:Sfrac est étudiée conjointement avec la fonction Modèle:Math. On a une représentation par une série de Dirichlet sous la formule vue plus haut :

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}.$

On peut en déduire que pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard soient premiers entre eux est égale à 1/Modèle:Math(k), ce qu'on pouvait « prévoir informellement » à partir du produit eulérien mentionné au § « Liens avec les nombres premiers ».

L'application de la formule sommatoire d'Abel donne également

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}$

où Modèle:Math est la fonction sommatoire de (la fonction de) Möbius : $M(u)=\sum _{n\leq u}^{\ }{\mu (n)}$.

La formule intégrale est valable pour Modèle:Math > 1. L'hypothèse de Riemann conjecture que l'intégrale converge et que la relation reste vraie pour Modèle:Math  >  Modèle:Sfrac (s ≠ 1). On sait qu'elle est également valable pour s = 1 + Modèle:Matht avec t  ≠  0.

La théorie de la fonction Modèle:Math est très obscure et cela probablement pour longtemps. On sait démontrer l'estimation suivante :

$M(u)=O(u\mathrm {e} ^{-a(\ln u)^{3/5}(\ln \ln u)^{-1/5}}),$

dont la preuve dépend directement de la plus grande région connue dans la bande critique qui ne contient pas de zéro de la fonction zêta (voir plus bas).

L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation suivante : pour tout ε > 0,

$M(x)=O(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }).$

Une autre conjecture est l'hypothèse de Mertens généralisée qui affirme que : $M(x)=O({\sqrt {x}})$, c'est-à-dire que

$|M(x)|\leq A{\sqrt {x}}.$

pour une certaine constante A (voir plus bas). Elle entraîne la conjecture de Riemann.

Inégalités

Inégalité de Mertens

En 1898, Franz Mertens démontre

$\zeta ^{3}(\sigma )|\zeta (\sigma +it)|^{4}|\zeta (\sigma +2it)|\geq 1,\quad {\rm {pour}}\quad s=\sigma +it,\quad {\text{Re}}(s)>1.$

Cette inégalité permet de démontrer que la fonction ζ(s) ne s'annule pas sur Modèle:Math = 1, ce qui est une étape cruciale dans la démonstration du théorème des nombres premiers.

Inégalité de Laforgia et Natalini

L'inégalité de Laforgia et Natalini est la suivante :

${\frac {(s+1)\zeta (s)}{s\zeta (s+1)}}>{\frac {\zeta (s+1)}{\zeta (s+2)}},$

pour s > 1.

Inégalité de Ahsan, Lam-Estrada, Lopez-Bonilla et Lopez-Vazquez

Ahsan, Lam-Estrada, Lopez-Bonilla et Lopez-Vazquez ont démontré l'inégalité suivante :

$\zeta (s)\zeta (s+2)>(\zeta (s+1))^{2},$

pour s > 1.

Elle implique l'inégalité de Laforgia et Natalini.

Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan

Le module de la fonction Modèle:Math de Riemann pour Modèle:Math et Modèle:Math. On notera la pointe due au pôle en 1 et la très grande irrégularité du module.

Presque périodicité

La fonction Modèle:Math est presque périodique au sens de Bohr dans la région Modèle:Math > 1. Il en est de même de ses dérivées. La fonction Modèle:Math est également presque périodique sur Modèle:Math > 1 ainsi que ses dérivées. Par contre sur l'axe Modèle:Math = 1, la presque périodicité de Bohr cède sa place à la presque périodicité B2, au sens de Besicovitch.

La presque périodicité au sens de Bohr, sur la ligne Modèle:Math = σModèle:Ind, signifie qu'à ε près, la fonction se répète indéfiniment dans des intervalles de longueur L(σModèle:Ind, ε). Évidemment, plus ε est petit, plus L(σModèle:Ind, ε) est grand.

Estimations dans la région Modèle:Math > 1

Dans le demi-plan Modèle:Math = σ > σModèle:Ind > 1 la fonction Modèle:Math est bornée. Ses valeurs satisfont à l'inégalité

${\frac {\zeta (2\sigma )}{\zeta (\sigma )}}\leq |\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|\leq \zeta (\sigma ).$

Elle n'a donc aucun zéro dans le demi-plan Modèle:Math = σ > 1.

Ces deux bornes sont les meilleures possibles : on montre, pour chaque valeur σ, qu'il existe une suite de Modèle:Math tendant vers l'infini ayant cette valeur pour limite de la suite Modèle:Math.

Franz Mertens démontra que pour σ > 1, on a

$\zeta ^{3}(\sigma )|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{4}|\zeta (\sigma +2\mathrm {i} t)|\geq 1.$

Une estimation, souvent utile, est donnée par la formule suivante pour les valeurs réelles de s supérieures à 1

$\zeta (\sigma )\leq {\frac {\sigma }{\sigma -1}}.$

Elle résulte de la formule issue de la formule sommatoire d'Abel déjà donnée en remarquant que l'intégrale est toujours positive et affectée du signe –.

Estimations sur Modèle:Math = 1

La fonction Modèle:Math est presque périodique sur le demi plan Modèle:Math > 1. Elle y est donc bornée sur tout demi-plan fermé strictement inclus. La présence du pôle en 1 empêche toute extension de la presque périodicité au sens de Bohr à un demi-plan plus vaste. Il est donc important de connaître le comportement de la fonction sur l'axe Modèle:Math = 1.

La méthode de Vinogradov-Korobov sur les majorations des sommes d'exponentielles permet de montrer que l'on a, pour tout Modèle:Math, l'inégalité

$|\zeta (1+\mathrm {i} t)|<C_{1}(\ln |t|)^{2/3}.\,$

On connaît, sans aucune hypothèse, une minoration de l'ordre des fonctions Modèle:Math et Modèle:Math. On a en effet (Modèle:Math = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni)

$\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {|\zeta (1+\mathrm {i} t)|}{\ln \ln t}}\geq \mathrm {e} ^{\gamma }$

et

$\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {1}{\zeta (1+\mathrm {i} t)}}\right|}{\ln \ln t}}\geq {\frac {6}{\pi ^{2}}}\mathrm {e} ^{\gamma }.$

La fonction n'est donc pas bornée sur l'axe Modèle:Math = 1, même en dehors du voisinage de 1.

On connaît, sous l'hypothèse de Riemann, l'ordre exact des fonctions Modèle:Math et Modèle:Math. On a en effet

$\mathrm {e} ^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {|\zeta (1+\mathrm {i} t)|}{\ln \ln t}}\leq \mathrm {e} ^{2\gamma }$

et

${\frac {6}{\pi ^{2}}}\mathrm {e} ^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {1}{\zeta (1+\mathrm {i} t)}}\right|}{\ln \ln t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}\mathrm {e} ^{2\gamma }.$

Estimations sur Modèle:Math = 0

Utilisant la formule des compléments et la relation fonctionnelle, on trouve pour Modèle:Math non nul

$|\zeta (\mathrm {i} t)|={\sqrt {\frac {t}{\pi \operatorname {sh} (\pi t)}}}\operatorname {sh} \left({\frac {\pi |t|}{2}}\right)|\zeta (1+\mathrm {i} t)|$

et de ce fait

$|\zeta (\mathrm {i} t)|=O\left({\sqrt {|t|}}\ln ^{2/3}|t|\right).$

Estimations dans la région Modèle:Math < 0

L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de Modèle:Math permet de montrer que

$|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|\ll \left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{{\frac {1}{2}}-\sigma }$

pour σ < 0.

Estimation dans la bande critique

On peut estimer, uniformément dans la bande critique, Modèle:Math par la formule

$\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=\sum _{n\leq t}{\frac {1}{n^{\sigma +\mathrm {i} t}}}+O\left(|t|^{-\sigma }\right).$

De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante : il existe deux constantes Modèle:Math et Modèle:Math strictement positives telles que pour tout Modèle:Nobr et Modèle:Math, on ait

$|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|\leq C\;t^{c(1-\sigma )^{3/2}}(\ln t)^{2/3}.$

Dans l'état actuel des connaissances, d'après Ford, on peut prendre Modèle:Math = 76,2 et Modèle:Math = 4,45. La relation fonctionnelle permet d'estimer le module dans la bande Modèle:Nobr.

Le théorème de Valiron

Quand on regarde les applications arithmétiques de la fonction Modèle:Math, on est frappé par l'usage quasi systématique des fonctions Modèle:Math, Modèle:Math, ou Modèle:Math mais la fonction Modèle:Math elle-même apparaît rarement au numérateur. Comme la région importante est la bande critique 0 ≤ Modèle:Math ≤ 1, il est important de pouvoir traverser cette bande. Or la présence éventuelle de zéros sur le chemin complique singulièrement les calculs et les estimations. Le résultat suivant sert essentiellement à majorer la fonction Modèle:Math sur des chemins bien répartis.

Dans sa thèse soutenue en 1914, Georges Valiron a montré qu'il existait une infinité de valeurs de Modèle:Math dans tout intervalle Modèle:Math pour lesquelles on avait la minoration

$|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|\geq t^{-\delta }.$

pour un certain δ fixe strictement positif.

On ne connaît aucune valeur de δ qui convient. On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. Sous l'hypothèse de Riemann, on peut prendre δ aussi petit qu'on veut.

La relation fonctionnelle approchée

Comme indiqué dans la partie consacrée à l'estimation dans la bande critique, il est possible de calculer la fonction Modèle:Math dans la bande critique en utilisant une somme partielle de la série de Dirichlet. La relation fonctionnelle se traduit alors dans une relation approchée reliant les séries de Dirichlet partielles pour les exposants s et 1 – s. C'est la relation fonctionnelle approchée :

Pour 0 < σ < 1 et Modèle:Math avec Modèle:Math, Modèle:Math, on a

$\zeta (s)=\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n^{s}}}+\chi (s)\sum _{n\leq y}{\frac {1}{n^{1-s}}}+O(x^{-\sigma }\ln |t|)+{\mathcal {O}}(|t|^{{\frac {1}{2}}-\sigma }y^{\sigma -1})$

avec

$\chi (s)={\frac {2^{s-1}\pi ^{s}}{\Gamma (s)}}\sec \left({\frac {1}{2}}s\pi \right).$

On peut, avec elle, obtenir une première estimation de Modèle:Math, l'objectif étant de démontrer l'hypothèse de Lindelöf (voir plus loin).

La théorie de la fonction mu

On utilise ici les résultats vus plus haut dans la partie Modèle:Citation.

L'estimation de Modèle:Math dans la partie Modèle:Math < 0 montre que la fonction Modèle:Math est d'ordre fini : elle est majorée par une puissance de Modèle:Math.

Dans la région Modèle:Math > σModèle:Ind > 1, la majoration est celle d'une constante.

Graphe de la fonction Modèle:Math en fonction de σ. En noir, la partie connue. En jaune la partie supposée conformément à l'hypothèse de Lindelöf. En rouge la majoration par la convexité.

La théorie des séries de Dirichlet montre que dans la bande critique, la fonction est encore d'ordre fini sauf en s = 1. La question qui se pose alors est celle de l'estimation de cet exposant. On appelle traditionnellement Modèle:Math(σ) la borne inférieure des exposants Modèle:Math tels que Modèle:Math.

Le théorème de Phragmén-Lindelöf implique que la fonction Modèle:Math est une fonction convexe décroissante de σ.

On a de plus :

• Modèle:Math(σ) = Modèle:Sfrac – σ pour σ < 0 et
• Modèle:Math(σ) = 0 pour σ > 1.
• La propriété de convexité impose, dans la bande critique, Modèle:Math(σ) ≤ Modèle:Sfrac – Modèle:Sfrac

mais on ignore la valeur exacte de Modèle:Math(σ) pour 0 < σ < 1.

La convexité donne Modèle:Math(Modèle:Sfrac) ≤ Modèle:Sfrac = 0,25.

La relation fonctionnelle approchée (voir plus haut) donne : Modèle:Math(Modèle:Sfrac) ≤ Modèle:Sfrac < 0,16667.

On sait que Modèle:Math(Modèle:Sfrac) ≤ Modèle:Sfrac ≈ 0,156098 d'après M.N. Huxley.

Les zéros

Les zéros triviaux

Zéros triviaux de la fonction zêta.

Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction Modèle:Math s'annule pour tous les entiers de la forme –2k, (k > 0) par suite du facteur $\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)$, mais pas en Modèle:Math par suite du facteur Modèle:Math. Ces zéros sont appelés les zéros triviaux.

La relation fonctionnelle permet de plus de montrer que chacun de ces zéros est simple puisque la valeur de la dérivée en –2k est :

$\zeta '(-2k)=(-1)^{k}{\frac {(2k)!\zeta (2k+1)}{2^{2k+1}\pi ^{2k}}}\neq 0.$

Les zéros non triviaux

Trajectoire de Modèle:Math pour y de 0 à 34.

Représentation en bleu de la partie réelle et en rouge de la partie imaginaire de la fonction Modèle:Math sur l'intervalle [0, 100], où l'on voit clairement apparaître les premiers zéros non triviaux lorsque les deux courbes se croisent sur l'axe des abscisses.

Il existe d'autres zéros. On obtient de la relation fonctionnelle que la fonction Modèle:Math admet une infinité de zéros dans la bande Modèle:Math ∈ ]0, 1[. Pour cela, on remarque que la fonction

$\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)$

vérifie

$\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s).$

On en déduit que la fonction

$\Xi (s)=\xi \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} s\right)$

est paire. On montre que les deux fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont deux fonctions entières d'ordre 1 et, comme Modèle:Math est paire, la fonction Modèle:Nobr est une fonction entière d'ordre Modèle:Sfrac : elle admet donc, d'après la théorie générale des fonctions entières, une infinité de zéros. Ces zéros se traduisent par une infinité de zéros de Modèle:Math dans la bande Modèle:Nobr On ignore pour l'instant si l'hypothèse de Riemann (voir plus bas), qui affirme que tous ces zéros sont de partie réelle Modèle:Sfrac, est vraie.

Premiers zéros sur la droite critique

± k	Partie imaginaire de ρModèle:Ind
1	± Modèle:Nobr…
2	± Modèle:Nobr…
3	± Modèle:Nobr…
4	± Modèle:Nobr…

Représentation sous forme de produit de facteurs primaires (produit de Hadamard)

D'après le théorème de factorisation de Hadamard pour une fonction méromorphe, toute fonction méromorphe s'écrit sous forme de produit de facteurs dits primaires dans lesquels apparaissent les zéros et les pôles de la fonction. La représentation sous cette forme pour Modèle:Math prend la forme

$\zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{\left(\ln(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma (1+{\frac {s}{2}})}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\mathrm {e} ^{s/\rho }$

où le produit s'effectue sur les zéros non-triviaux Modèle:Math de Modèle:Math et Modèle:Math est la constante d'Euler-Mascheroni.

Expressions de ζ'/ζ en fonction des zéros triviaux et non triviaux

Indépendamment de l'expression en fonction des facteurs primaires de Weierstrass, la valeur Modèle:Math peut se calculer en fonction des zéros non triviaux les plus proches du point Modèle:Math. On démontre que seuls les zéros à une distance de Modèle:Math inférieure à 1 interviennent vraiment. Le reste s'exprime dans la [[notation de Landau|notation Modèle:Citation]] .

Il faut faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros Modèle:Math ne sont généralement pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient : on somme symétriquement par rapport à Modèle:Sfrac. D'autre part, les zéros Modèle:Math sont comptés autant de fois que leur multiplicité dans ces sommes.

La première expression intéressante, déduite du produit de Hadamard précédent, est :

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\gamma -1-{\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '({\frac {1}{2}}s+1)}{\Gamma ({\frac {1}{2}}s+1)}}+\sum _{\rho }{\Big (}{\frac {1}{s-\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\Big )}.$

La somme s'effectue sur les zéros non-triviaux Modèle:Math de Modèle:Math et Modèle:Math est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit :

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{\rho }{\Big (}{\frac {1}{s-\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\Big )}+O(\ln |t|).$

Cette formule montre alors, sans l'hypothèse de Riemann,

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{|t-\gamma |\leq 1}{\frac {1}{s-\rho }}+O(\ln |t|).$

Avec l'hypothèse de Riemann, la sommation peut être considérablement diminuée. On a

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{|t-\gamma |\leq {\frac {1}{\ln \ln t}}}{\frac {1}{s-\rho }}+O(\ln |t|).$

La bande critique et l'hypothèse de Riemann

La série des points blancs marque les points où la fonction zêta s'annule.

On appelle bande critique la bande 0 < Modèle:Math < 1. Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils sont tous de partie réelle Modèle:Sfrac. On a vérifié numériquement sur plus de 1 500 000 000 zéros que leur partie réelle était bien Modèle:Sfrac.

Il a été démontré que l'axe Modèle:Math = Modèle:Sfrac en avait une infinité, dont les 2/5 au moins sont simples. On sait également que la proportion des zéros de la forme Modèle:Math en dehors de l'axe Modèle:Math = Modèle:Sfrac et tels que Modèle:Math tend vers 0 quand Modèle:Math tend vers l'infini, cette proportion décroissant également à mesure que Modèle:Math s'écarte de Modèle:Sfrac.

On appelle traditionnellement N(T) le nombre de zéros de la fonction Modèle:Math de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale Modèle:Math. On note aussi NModèle:Ind(T) le nombre de zéros se trouvant sur le segment Modèle:Math. On a alors les estimations suivantes :

$N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln \left({\frac {T}{2\pi \mathrm {e} }}\right)+O\left(\ln T\right).$

Ces estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang Modèle:Math, Modèle:Math sous la forme

$|\gamma _{n}|\approx {\frac {2\pi n}{\ln n}}.$

Cette formule montre d'une part que l'ordre Modèle:Math de chaque zéro Modèle:Math est majoré par

$m(\rho )\leq C\ln |\rho |$

et d'autre part que la distance entre deux zéros tend vers 0. On a en effet

$|\gamma _{n+1}-\gamma _{n}|=O\left(1/\ln n\right).$

Pour les zéros de la droite critique, on sait qu'il existe une constante C telle que, pour tout T ≥ 2 on a

$N_{0}(T)\geq CT\ln T\geq CN(T).$

On ne connaît pas la valeur exacte de la constante C mais Conrey a démontré en 1989 que

$\liminf _{T\to +\infty }{\frac {N_{0}(T)}{N(T)}}\geq 0,4077.$

Autrement dit, plus de deux cinquièmes des zéros de Modèle:Math sont sur la droite critique Modèle:Math = Modèle:Sfrac.

La fonction S(T)

À partir de la [[#Relation fonctionnelle|fonction entière Modèle:Math]], qui satisfait $\xi (s)=s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)$ et $\xi (s)=\xi (1-s)$ et dont les zéros sont les zéros non triviaux, on trouve avec le principe de l'argument

$N(T)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{\begin{array}{l}[2,2+\mathrm {i} T,\\-1+\mathrm {i} T,\\-1,2]\end{array}}{\frac {\xi '(s)}{\xi (s)}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{i\pi }}\int _{2}^{2+\mathrm {i} T}+\int _{2+\mathrm {i} T}^{1/2+\mathrm {i} T}{\frac {\xi '(s)}{\xi (s)}}\,\mathrm {d} s=1+{\frac {1}{\pi }}\arg {\Big (}\pi ^{-\mathrm {i} T/2}\Gamma (1/4+\mathrm {i} T/2){\Big )}+S(T)$

où $S(T)={\frac {1}{\pi }}\arg {\Big (}\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} T\right){\Big )}$, les arguments étant définis par variation continue sur le chemin $[2,2+\mathrm {i} T,1/2+\mathrm {i} T]$ et en partant de la valeur $0$.

La formule de Stirling complexe donne alors

$N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi \mathrm {e} }}+{\frac {7}{8}}+S(T)+O\left(1/T\right).$

On connaît relativement peu de chose sur Modèle:Math sans aucune hypothèse. On a l'estimation

$S(T)=O\left(\ln T\right)$

déjà ancienne et qu'on n'arrive pas à améliorer.

Sous l'hypothèse de Riemann, on a

$S(T)=O\left(\ln T/\ln \ln T\right).$

Dans les recherches sur Modèle:Math, on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de Modèle:Math qui reste mystérieux :

$\int _{0}^{T}S(u)\mathrm {d} u=O\left(\ln T\right)$

dont on déduit que la moyenne de Modèle:Math est égale à zéro.

Cependant Selberg a montré que Modèle:Math était minoré par une quantité tendant vers l'infini pour une infinité de valeurs de T. Sur ces valeurs de T, on a

$S(T)>A(\ln T)^{1/3}(\ln \ln T)^{-7/3}.$

Selberg a également montré que

$\int _{0}^{T}S^{2}(u)\mathrm {d} u={\frac {1}{2\pi ^{2}}}T\ln \ln T(1+o(1))$

qui montre que la moyenne de Modèle:Math sur [0, T] est Modèle:Math.

Edward Charles Titchmarsh a montré d'autre part que Modèle:Math changeait de signes une infinité de fois.

La région sans zéro

Région (en bleu) sans zéro de la fonction zêta.

La plus grande région connue qui ne contient aucun zéro de la fonction Modèle:Math est donnée asymptotiquement par la formule suivante :

${\text{Re}}(s)>1-{\frac {c}{(\ln t)^{2/3}(\ln \ln t)^{1/3}}}.$

Les grandes conjectures

L'hypothèse de Riemann

Cette hypothèse reste pour l'instant non démontrée. Elle exprime que tous les zéros qui se trouvent dans la bande critique sont de partie réelle égale à Modèle:Sfrac. Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros.

Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à Modèle:Math.

Les conséquences sur le comportement de la fonction Modèle:Math sont nombreuses. On en donne quelques-unes dans ce qui suit.

Conséquences de l'hypothèse de Riemann sur la croissance de la fonction zêta

L'hypothèse de Riemann entraine que l'on a δ = 0 dans le théorème de Valiron. En fait, on montre bien mieux sous l'hypothèse de Riemann car la fonction Modèle:Math est alors analytique régulière dans le demi-plan Modèle:Math > Modèle:Sfrac.

Sous l'hypothèse de Riemann, on a, uniformément pour tout σ tel que Modèle:Sfrac < σModèle:Ind ≤ σ ≤ 1

$\ln \zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O{\Big (}(\ln t)^{2-2\sigma +\epsilon }{\Big )}$

et même plus précisément, si l'on suppose ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\ln \ln t}}\leq \sigma \leq 1$, on a

$\ln \zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O{\Big (}\ln \ln t(\ln t)^{2-2\sigma }{\Big )}.$

De cela on déduit, pour tout σ > Modèle:Sfrac, car l'exposant dans la formule précédente est inférieur à 0,

$\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O\left(t^{\epsilon }\right)\;{\text{ et }}\;{\frac {1}{\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)}}=O\left(t^{\epsilon }\right).$

Autrement dit, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf (voir plus bas).

Il en résulte également l'estimation

$\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}{\frac {\mathrm {d} t}{|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2}}}={\frac {\zeta (2\sigma )}{\zeta (4\sigma )}}.$

On peut développer, sous l'hypothèse de Riemann, une théorie voisine de celle de la fonction $\mu (\sigma )$ mais pour la fonction Modèle:Math (voir #La théorie de la fonction mu).

En supposant σ > Modèle:Sfrac et appelant Modèle:Math(σ) le plus petit exposant Modèle:Math pour lequel on a $\ln \zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O{\Big (}(\ln t)^{\alpha }{\Big )}$, on montre que Modèle:Math(σ) est une fonction convexe décroissante de σ satisfaisant aux inégalités 1 – σ ≤ Modèle:Math(σ) ≤ 2(1 – σ). On montre aussi que la fonction Modèle:Math(σ) de $\displaystyle {\frac {\zeta '(\sigma +\mathrm {i} t)}{\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)}}$ est la même fonction Modèle:Math(σ) que celle de Modèle:Math. Mais on ignore encore la valeur de Modèle:Math(σ) pour tout Modèle:Nobr Pour σ ≥ 1, Modèle:Math(σ) = 0.

L'hypothèse de Riemann et les zéros de la dérivée Modèle:Math

La question de la position des zéros de la dérivée Modèle:Math est liée également à l'hypothèse de Riemann. Littlewood a démontré le théorème

Modèle:Début citationOu bien la fonction Modèle:Math ou bien la fonction Modèle:Math a une infinité de zéros dans la bande 1 – δ < σ < 1, δ étant une quantité positive arbitrairement petite.Modèle:Fin citation

et Speiser a démontré que

Modèle:Début citationL'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée Modèle:Math dans le demi-plan σ < Modèle:Sfrac.Modèle:Fin citation

De même, Yıldırım a démontré que Modèle:Début citationL'hypothèse de Riemann implique que Modèle:Math(s) et Modèle:Math(s) ne s'annulent pas dans la bande 0 < Modèle:Math < Modèle:Sfrac.Modèle:Fin citation

L'hypothèse de Lindelöf et l'hypothèse de densité

La conjecture de Lindelöf est l'assertion que pour tout ε > 0

$\left|\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)\right|=O(t^{\varepsilon })\ (t\rightarrow \infty ).$

Cela a entre autres pour conséquence immédiate que Modèle:Math(Modèle:Sfrac) = 0. On connaît alors la valeur exacte de la fonction Modèle:Math. Le graphe de Modèle:Math est composé des deux seules demi-droites indiquées, qui se rejoignent en σ = Modèle:Sfrac à la valeur 0.

Cette hypothèse a de nombreuses formulations équivalentes intéressantes. En voici deux :

• Pour tout k ≥ 1, on a${\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}{\left|\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} u\right)\right|^{2k}\mathrm {d} u}=O(T^{\epsilon })$
• Pour tout k ≥ 1, et tout σ > Modèle:Sfrac on a${\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}{|\zeta (\sigma +\mathrm {i} u)|^{2k}\mathrm {d} u}=O(T^{\epsilon })$

L'hypothèse de Lindelöf a pour conséquence la raréfaction des zéros à mesure qu'on s'écarte de l'axe σ = Modèle:Sfrac. Cette dernière propriété est appelée hypothèse de densité quand on la considère par elle-même. Appelant N(σ, T) le nombre de zéros sur la droite Modèle:Math = σ et dont la partie imaginaire reste inférieure ou égale à T, on a, sous l'hypothèse de Lindelöf,

$N(\sigma ,T)\leq O(T^{2(1-\sigma )+\epsilon }).$

Par contre, on ignore si l'hypothèse de Lindelöf, qui a comme on vient de voir une influence sur la position des zéros, implique ou non l'hypothèse de Riemann.

Les hypothèses de Mertens

Sur une table numérique allant jusqu'à 10 000 de la fonction de Mertens Modèle:Math, Mertens en 1897 conjectura que l'on a

$|M(x)|\leq {\sqrt {x}}.$

Cette conjecture a été réfutée en 1985 par Odlyzko et te Riele. Cependant, la conjecture généralisée de Mertens, qui s'exprime sous la forme

$|M(x)|\leq A{\sqrt {x}}$

pour un certain Modèle:Math, n'est pas réfutée.

Une troisième formulation est la forme affaiblie :

$\int _{1}^{x}{{\frac {M^{2}(u)}{u^{2}}}\mathrm {d} u}=O(\ln x).$

La forme généralisée implique la forme affaiblie. La forme affaiblie implique l'hypothèse de Riemann (et donc l'hypothèse de Lindelöf) et la simplicité des zéros.

La conjecture des paires corrélées

La conjecture (faible) des paires corrélées exprime que, pour un nombre Modèle:Math,

$\sum _{0<\gamma ,\gamma '<T,0<\gamma -\gamma '<{\frac {2\pi \alpha }{\ln T}}}1={\frac {T\ln T}{2\pi }}(1+o(1))\int _{0}^{\alpha }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u.$

Cette dernière conjecture fait le lien avec la théorie des matrices aléatoires.

La conjecture de Hilbert-Polya

Hilbert et Polya ont suggéré que la conjecture de Riemann serait démontrée si l'on pouvait trouver un opérateur hermitien Modèle:Math dont les valeurs propres (nécessairement réelles) soient exactement les parties imaginaires Modèle:Math des zéros non triviaux :

${\hat {H}}\ \psi _{k}\ =\ E_{k}\ \psi _{k}.$

Un tel opérateur hermitien n'a pas encore été trouvé explicitement à ce jour. Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de mécanique quantique non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant.

Propriétés statistiques des zéros non triviaux et chaos quantique

Les propriétés statistiques des zéros non triviaux de la fonction Modèle:Math ressemblent asymptotiquement à celles des valeurs propres de matrices aléatoires de l'ensemble gaussien unitaire pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (GUE). Cette conjecture est basée sur de nombreux résultats numériques, et fortement supportée par un théorème rigoureux de Montgomery. Ceci a conduit le physicien théoricien Michael Berry à conjecturer que les parties imaginaires Modèle:Math des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un système quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du tempsModèle:,Modèle:,. Mieux, un opérateur hamiltonien semblant posséder les bonnes propriétés a été exhibé par Berry et Jonathan Keating en 1999Modèle:,.

Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques, ainsi que d'interprétations probabilistesModèle:,.

Le problème des moments

Malgré quelques progrès, on n'a pas réussi à résoudre la question de l'ordre de Modèle:Math dans la bande critique. Le problème de l'ordre moyen est lui, partiellement résolu. Il prend la forme de l'estimation de l'expression

$\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2}\mathrm {d} t.$

Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet :

Modèle:Début citationSoient $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ et $g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}$ deux séries de Dirichlet absolument convergentes, la première pour Modèle:Math > σModèle:Ind et la seconde pour Modèle:Math > σModèle:Ind.

Alors, pour α > σModèle:Ind et β > σModèle:Ind, on a

$\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(\alpha +\mathrm {i} t)g(\beta -\mathrm {i} t)\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}b_{n}}{n^{\alpha +\beta }}}.$Modèle:Fin citation

En l'appliquant à la fonction Modèle:Math, on trouve immédiatement, pour σ > 1

$\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2}\mathrm {d} t=\zeta (2\sigma )$

et

$\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{4}\mathrm {d} t={\frac {\zeta ^{4}(2\sigma )}{\zeta (4\sigma )}}.$

On a donc cherché à étendre ces formules pour σ ≤ 1.

Le problème général des moments est donc l'évaluation des intégrales dépendantes de k, pour σ ≥ Modèle:Sfrac

$\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2k}\mathrm {d} t.$

Les résultats, désormais classiques, sont les suivants :

• Pour le moment d'ordre 2 en σ = Modèle:Sfrac$\int _{0}^{T}\left|\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)\right|^{2}\mathrm {d} t=T\ln T+(2\gamma -1-\ln 2\pi )T+O{\Big (}{\sqrt {T}}\ln T{\Big )}.$
• Pour le moment d'ordre 2 en σ > Modèle:Sfrac$\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2}\mathrm {d} t=\zeta (2\sigma ).$
• Pour le moment d'ordre 4 en σ = Modèle:Sfrac$\int _{1}^{T}\left|\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)\right|^{4}\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi ^{2}}}T(\ln T)^{4}+O{\Big (}T(\ln T)^{3}{\Big )}.$
• Pour le moment d'ordre 4 en σ > Modèle:Sfrac$\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{4}\mathrm {d} t={\frac {\zeta ^{4}(2\sigma )}{\zeta (4\sigma )}}.$

Carlson a montré que, si l'on appelle σModèle:Ind la borne inférieure des σ pour lesquels on a $\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2k}\mathrm {d} t=O(1)$, alors

$\sigma _{k}\leq \max {\Big (}1-{\frac {1-\alpha }{1+\mu _{k}(\alpha )}},{\frac {1}{2}},\alpha {\Big )}$ pour Modèle:Math, la quantité Modèle:Math étant l'équivalent de la fonction Modèle:Math de Modèle:Math pour la fonction Modèle:Math.

Les moments d'ordre supérieur à 4 font encore l'objet d'intenses recherches. On sait qu'il existe une constante Modèle:Math telle que

$\int _{0}^{T}\left|\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)\right|^{2k}\mathrm {d} t\ll T^{(k+2)/4}(\ln T)^{C(k)}$

pour 2 ≤ k ≤ 6 et on conjecture qu'il en est ainsi pour les k supérieurs à 6, en particulier 8.

L'importance du problème des moments est liée à l'hypothèse de Lindelöf (voir plus haut).

Applications diverses

Régularisation Zêta

Modèle:Article détaillé Par l'intermédiaire de la fonction Modèle:Math de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir.

Développement en série entière de ln Γ(1+t)

Une formule due à Euler donne pour Modèle:Math

$\ln \Gamma (1+t)=-\gamma t+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{n}}t^{n}.$

Elle permet à Euler d'écrire

$\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{n}}.$

Legendre écrit la formule d'Euler sous la forme plus commode numériquement

$\ln \Gamma (1+t)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi t}{\sin \pi t}}+{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-t}{1+t}}+(1-\gamma )t+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-\zeta (2n+1)}{2n+1}}t^{n}.$

Suites de Farey et hypothèse de Riemann

Ces suites peuvent être utilisées pour obtenir des formules équivalentes à l'hypothèse de Riemann.

Fonction de comptage des nombres premiers et théorème des nombres premiers

La fonction de comptage des nombres premiers est définie par $\pi (x)=\sum _{p\in {\mathcal {P}},p\leq x}1.$

La non-annulation de la fonction Modèle:Math sur Modèle:Math = 1 a pour conséquence la véracité de la conjecture de Legendre-Gauss :

$\pi (x)\sim \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} u}{\ln u}}.$

La région sans zéro permet ensuite de majorer le reste :

$\pi (x)=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} u}{\ln u}}+O{\Big (}x\exp(-c(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}){\Big )},$

ce qui est encore bien loin de ce qu'on sait démontrer si l'hypothèse de Riemann est vraie

$\pi (x)=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} u}{\ln u}}+O({\sqrt {x}}\ln x).$

Le nombre premier de rang n

En 1902, Cipolla montra le développement asymptotique

$p_{n}=n\left\{\ln n+\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n-2}{\ln n}}-{\frac {(\ln \ln n)^{2}-6\ln n+11}{(\ln n)^{2}}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{3}\right)\right\}$

Grâce à une étude numérique de la fonction Modèle:Math, Rosser et Schoenfeld ont montré, pour n supérieur ou égal à 20, que

$n\left(\ln n+\ln \ln n-{\frac {3}{2}}\right)<p_{n}<n\left(\ln n+\ln \ln n-{\frac {1}{2}}\right).$

La borne inférieure a été améliorée par Dusart en 1999 qui montra, pour n >1,

$n{\Big (}\ln n+\ln \ln n-1{\Big )}<p_{n}.$

Historique

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

Traités généraux

Livres en français

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio
• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio
• Modèle:EllisonMendesFranceModèle:Commentaire biblio
• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio
• Modèle:Ouvrage

Livres en anglais

• Eberhard Freitag et Rolf Busam, Complex Analysis, Springer, Modèle:2e édition, 2009 Modèle:IsbnModèle:Commentaire biblio SRL
• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio SRL
• Karatsuba, Basic Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1993 Modèle:IsbnModèle:Commentaire biblio SRL
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio SRL
• Modèle:Lien, An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (Modèle:N°), Cambridge University Press, 1995 Modèle:Isbn

Articles de revue

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article

Articles connexes

Liens externes

• Page personnelle de Tanguy Rivoal, et en particulier cet article sur les zéros de la fonction ζ
• Historique d'articles en français et en anglais sur la fonction Modèle:Math de Riemann
• Modèle:MathWorld