Décomposition en éléments simples

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle (parfois appelée décomposition en fractions partielles) est son expression comme somme d'un polynôme et de fractions J/HModèle:Exp où H est un polynôme irréductible et J un polynôme de degré strictement inférieur à celui de H. Cette décomposition est utilisée dans le calcul intégral pour faciliter la recherche des primitives de la fonction rationnelle associée. Elle est aussi utilisée pour calculer des transformées de Laplace inverses.

Déterminer quels polynômes sont irréductibles dépend du corps de scalaires utilisé. Ainsi, si les nombres complexes sont utilisés, seuls les polynômes de premier degré seront irréductibles. Si l'on se limite aux nombres réels, les polynômes irréductibles seront de degré 1 ou 2. Si l'on se limite aux nombres rationnels, on pourra trouver des polynômes irréductibles de degré arbitraire ; il en va de même sur les corps finis.

Énoncé

Sur un corps quelconque

Une démonstration de ce théorème sera présentée plus bas. À noter que pour le corps des réels ou des complexes, il existe d'autres types de démonstrations. Certaines s’appuient par exemple sur l'analyse (via les formules de Taylor) ou l'algèbre linéaire. On pourra par exemple consulter les liens externes proposés plus bas.

Remarquons que d'après l'unicité, si les facteurs irréductibles H de Q sont encore irréductibles sur un surcorps L de K, alors la décomposition de F sur L est la même que sur K ; typiquement : si F est à coefficients réels et de dénominateur scindé sur ℝ, alors ses décompositions sur ℝ et sur ℂ sont identiques.

Sur le corps des complexes

Quand K = ℂ, chaque polynôme irréductible H est de degré 1 (théorème fondamental de l'algèbre) et les numérateurs J des éléments simples J/HModèle:Exp sont donc constants. Le théorème général ci-dessus se réécrit donc dans ce cas :

(On dit que z est un pôle d'ordre n de la fraction F si z est une racine d'ordre n de son dénominateur Q, dans une écriture F = P/Q sous forme « irréductible » c'est-à-dire simplifiée au maximum : avec P et Q premiers entre eux.)

Sur le corps des réels

Les polynômes irréductibles H à coefficients réels sont du premier ou du second degré. Les numérateurs J des éléments simples seront donc respectivement constants ou linéaires. Traditionnellement, dans ce cas, ces fractions J/HModèle:Exp sont appelées respectivement éléments simples de première espèce et éléments simples de seconde espèce.

Pour K = ℝ, le théorème général ci-dessus se réécrit donc :

Utilisations

La décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle a pour motivation essentielle le calcul des primitives de la fonction rationnelle correspondante sur un intervalle de ℝ ne contenant aucun pôle.

En effet, on ne sait pas en général intégrer directement une fonction rationnelle quelconque sur un intervalle donné. En revanche, il existe des méthodes pour intégrer les éléments simples. Par exemple, pour intégrer la fraction rationnelle ${\frac {1}{x^{2}-1}}={\frac {1}{(x+1)(x-1)}}$, il suffit de la décomposer sous la forme ${\frac {1/2}{x-1}}-{\frac {1/2}{x+1}}$, et en intégrant directement la somme on obtient $(1/2)\ln |x-1|-(1/2)\ln |x+1|+C~$.

Un autre exemple classiqueModèle:Refsou est la sommation de séries telles que $S=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}-n}}$ : après décomposition en éléments simples, on constate l'apparition d'une somme télescopique, permettant de conclure que $S=1/4$.

Techniques générales

La partie « existence » de la preuve du théorème général fournit un algorithme, mais d'autres procédés sont parfois plus efficaces. Certaines techniques sont applicables lorsque Q est scindé, ce qui est toujours le cas dans le corps des complexes.

Partie entière

On peut toujours trouver directement la partie entière T de P/Q, par division euclidienne de P par Q. On sait en effet qu'il existe toujours un couple unique de polynômes T et R tels que P = T × Q + R avec deg(R) < deg(Q). La fraction rationnelle $F={\frac {P}{Q}}={\frac {TQ+R}{Q}}$ peut s'écrire alors $F=T+{\frac {R}{Q}}$ et ${\frac {R}{Q}}$ est la somme des éléments simples J/HModèle:Exp de la décomposition de F.

Le polynôme T est nul (et R = P) si le degré de P était déjà strictement inférieur à celui de Q (dans ce cas, la division euclidienne est simplement P = 0 × Q + P) et sinon,

${\rm {deg}}(T)={\rm {deg}}(P)-{\rm {deg}}(Q).$

Pôle simple

Soit z un pôle simple de F = P/Q, c'est-à-dire une racine simple de Q. Le polynôme Q(x) s'écrit donc (x – z)B(x) avec B(z) ≠ 0. Une méthode efficace pour déterminer directement le coefficient a de l'élément simple Modèle:Nobr associé est la méthode dite de multiplication et de remplacement : en isolant cet élément à déterminer, F s'écrit en effet Modèle:Lang (d'après le théorème) :

d'où, en multipliant ces deux fractions rationnelles par x – z :

puis, en évaluant au point z :

où Q' est le polynôme dérivé de Q (la dernière expression dispense de calculer B).

Dans le cas — le plus simple — où Q est scindé et à racines simples, cette technique (jointe à la précédente pour le calcul de la partie entière) fournit la décomposition complète de F (une méthode plus globale pour ce cas — conduisant à la même expression pour les coefficients — est détaillée au § « Cas d'un dénominateur avec pôles d'ordre un » ci-dessous). En voici deux exemples, valables sur tout corps de caractéristique différente de 2 et 3 (comme ℚ ou tout surcorps, ou comme le corps fini FModèle:Ind).

Exemple avec deux pôles simples : Modèle:Retrait Modèle:Démonstration/début Dans ce premier exemple (contrairement à tous les suivants), la partie entière est non nulle (on peut prévoir son degré : 4 – 2 = 2). On l'isole par division euclidienne de Modèle:Math par Modèle:Math :

et il reste à décomposer

Modèle:Math donc cette fraction admet deux pôles simples : 1 et –1.

On en déduit que G peut s'écrire sous la forme :

La méthode générale ci-dessus donne Modèle:Math et Modèle:Math.

On peut aussi déduire l'une des deux valeurs de l'autre en profitant de la parité : Modèle:Math donc

si bien que (par unicité de la décomposition) Modèle:Math. Modèle:Démonstration/fin

Exemple avec quatre pôles simples : Modèle:Retrait

Coefficient d'indice maximum associé à un pôle multiple

Soit z une racine d'ordre n du dénominateur de F = P/Q. Le polynôme Q(x) s'écrit donc (x – z)Modèle:ExpB(x) avec B(z) ≠ 0.

La méthode précédente pour n = 1 se généralise (on multiplie par (x – z)Modèle:Exp puis on évalue en z) et permet de calculer, non pas directement [[#Éléments simples associés à un pôle multiple|les n éléments simples aModèle:Ind/(x – z)Modèle:Exp associés à z]], mais celui d'indice n. On trouve ainsi :

Élimination d'un élément simple d'indice maximum

Si F = P/(HModèle:ExpB) avec H irréductible et ne divisant pas B et si l'élément simple J/HModèle:Exp a déjà été calculé, en le retranchant de F, on se ramène à une fraction plus simple à décomposer, car de dénominateur HModèle:ExpB (après simplification par H).

Exemple : Modèle:Retrait

Modèle:Démonstration/début On suppose que K n'est pas de caractéristique 2 ni 3 (par exemple K = ℝ ou ℂ). Alors, 2 est racine simple de Modèle:Retrait et l'élément simple associé est Modèle:Math. On le retranche de F, on réduit au même dénominateur, et on simplifie par Modèle:Math (le fait que cette simplification soit possible atteste que le coefficient 7 est correct) :Modèle:Retrait Cette nouvelle fraction n'est pas un élément simple si son dénominateur est scindé sur K (par exemple si K = ℂ ou ℤ/7ℤ), mais elle est plus facile à décomposer : 2 n'est plus pôle. Modèle:Démonstration/fin

Répétition d'un facteur irréductible

Dans le cas où le dénominateur possède un facteur irréductible H élevé à une puissance n supérieure à 1, une méthode pour déterminer les éléments simples J/HModèle:Exp associés est, après avoir isolé leur somme R/HModèle:Exp, de la décomposer par des divisions euclidiennes successives par H (cf. preuve du lemme 2 ci-dessous).

Exemple sur ℝ : Modèle:Retrait

Modèle:Démonstration/début Avec le facteur irréductible du second degré Modèle:Math au dénominateur, la décomposition en fractions partielles sera de la forme

Modèle:Retrait Le coefficient associé au pôle simple est Modèle:Math. On peut éliminer l'élément simple correspondant : Modèle:Retrait Une division euclidienne par Modèle:Math du numérateur obtenu permet de conclure : Modèle:Retrait Modèle:Démonstration/fin

Éléments simples associés à un pôle multiple

On peut calculer l'élément simple d'indice maximum associé à un tel pôle puis l'éliminer, et les calculer ainsi tous, de proche en proche. Mais la technique suivante est plus globale.

Par exemple, pour une fraction rationnelle de la forme

où Modèle:Math est un pôle d'ordre 3 (i.e. Modèle:Math), la détermination des coefficients des trois éléments simples associés à ce pôle s'opère en effectuant le changement de variable Modèle:Math. La fraction s'écrit alors

Une division suivant les puissances croissantes de Modèle:Math par Modèle:Math fournit trois coefficients Modèle:Math et un polynôme Modèle:Math tels que

ou encore :

En revenant à la variable de départ, on obtient donc les éléments simples associés à Modèle:Math, et une fraction — restant à décomposer — dont z n'est plus un pôle :

Identification des coefficients

Pour déterminer, parmi les coefficients de T et des J dans les J/HModèle:Exp, les n coefficients non encore (éventuellement) déterminés par d'autres procédés, une méthode toujours réalisable consiste à réduire au même dénominateur le membre de droite de la décomposition et à identifier les coefficients dans les numérateurs. On aboutit à un système d'équations linéaires — à résoudre — à n inconnues. Ce système, de n équations ou plus, possède une unique solution si (et seulement si) les coefficients déjà déterminés étaient corrects. Une variante pour obtenir un tel système est d'évaluer les deux membres pour n valeurs de x, différentes des pôles de F.

Cette méthode n'est efficace que si n est petit.

Exemple (comme au § « Élimination d'un élément simple d'indice maximum » mais dans un autre contexte) : Modèle:Retrait

Modèle:Démonstration/début On fait ici l'hypothèse plus forte que –3 n'est pas un carré dans K (par exemple K = ℝ ou ℤ/5ℤ). Rappelons que Modèle:Retrait et que le coefficient associé au pôle simple 2 vaut 7. Le polynôme Modèle:Math est irréductible, par hypothèse sur K. La décomposition de F en éléments simples est donc de la formeModèle:Retraitet il reste à déterminer les scalaires Modèle:Math et Modèle:Math.

• En réduisant au même dénominateur et en identifiant, on aboutit au système (échelonné et redondant) :Modèle:Retraitdont la solution est : Modèle:Math et Modèle:Math.
• En remplaçant Modèle:Math dans l'équation par 0 et 1, le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues obtenu est :Modèle:Retraitet l'on retrouve : Modèle:Math et Modèle:Math.

Utilisation de la parité

Comme dans le premier exemple ci-dessus, l'éventuelle parité ou imparité de F permet de réduire le nombre de coefficients à déterminer. Par exemple si z est un pôle d'ordre n et si F est paire ou impaire, alors –z est aussi un pôle d'ordre n, et par unicité de la décomposition, les éléments simples qui lui sont associés, Modèle:Retrait se déduisent de ceux associés à z, Modèle:Retrait par Modèle:Retrait

Techniques spécifiques

Passage par les complexes

Une méthode, pour trouver la décomposition d'une fraction réelle F sur ℝ, consiste à utiliser celle sur ℂ. En effet, par le même raisonnement qu'au § « Utilisation de la parité », si z est un pôle non réel d'ordre n alors son conjugué Modèle:Surligner aussi, et les coefficients des éléments simples qui lui sont associés sont les conjugués de ceux associés à z ; de plus, la somme de tous ces éléments simples,

est une fraction rationnelle réelle, égale à la somme des n éléments simples réels de seconde espèce associés à (x – z)(x – Modèle:Surligner), facteur réel irréductible d'ordre n de Q.

Cette méthode est surtout utile si n = 1 : la somme des deux éléments simples complexes associés à deux pôles simples conjugués donne l'élément simple réel correspondant.

Exemple : Modèle:Retrait

On détermine les coefficients Modèle:Math associés aux pôles simples, par la technique vue plus haut au § « Pôle simple » ou celle du § « Cas d'un dénominateur avec pôles d'ordre un » ci-dessous : Modèle:Math donc Modèle:Retrait (Le coefficient Modèle:Math est bien le conjugué de Modèle:Math.)

Puis on somme les deux éléments simples conjugués : Modèle:Retrait Modèle:Démonstration/fin

Si n > 1, il suffit d'adjoindre à cette méthode celle du § « Répétition d'un facteur irréductible ».

Cas d'un dénominateur avec pôles d'ordre un

Les exemples du § « Pôle simple » peuvent être généralisés à la situation suivante, sur un corps K arbitraire :

Soit Q un polynôme unitaire de degré n dont la décomposition en facteurs irréductibles est

où tous les $x_{i}$ sont des éléments de K différents deux à deux. En d'autres termes : Q est scindé sur K et à racines simples. Si P est un polynôme quelconque de degré strictement inférieur à n, par la formule d'interpolation de Lagrange, il peut être écrit de manière unique comme une somme

où $\,L_{j}(x)$ est le j-ième polynôme de Lagrange associé à $x_{1},\ldots ,x_{n}$ :

On en déduit la décomposition de P/Q en éléments simples :

Existence et unicité sur un corps quelconque

Le théorème général d'existence et d'unicité résulte (par itération) du lemme suivant.

Dans le cas particulier B = 1 (la dernière itération), le polynôme S obtenu dans ce lemme est la partie entière T de la fraction.

Ce lemme se déduit immédiatement des lemmes 1 et 2 suivants, conséquences du fait que l'anneau des polynômes sur un corps est euclidien, avec unicité de la division.

1. Résoudre P/(AB) = R/A + S/B revient à résoudre P = BR + AS, c'est-à-dire à trouver un polynôme R tel que P – BR soit divisible par A. L'identité de Bézout fournit des polynômes U et V tels que 1 = AU + BV donc fournit déjà une solution : RModèle:Ind = VP. Les solutions sont alors tous les R tels que A divise (P – BR) – (P – BRModèle:Ind) = B(RModèle:Ind – R), autrement dit : les R tels que RModèle:Ind – R soit multiple de A, et il en existe un unique qui soit de degré strictement inférieur à celui de A : le reste de la division euclidienne de RModèle:Ind par A.
2. Il suffit d'itérer la remarque suivante, obtenue par division euclidienne de R par H (la méthode est analogue à celle utilisée pour écrire un nombre en base a) :Modèle:Retrait

Fractions d'entiers

Modèle:Voir L'idée de la décomposition en éléments simples peut être étendue à d'autres anneaux euclidiens, comme celui des entiers (relatifs), où les nombres premiers jouent le rôle des polynômes irréductibles unitaires. Tout rationnel est somme d'un entier et de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de nombres premiers. On a même unicité de la décomposition, si l'on impose que chaque dénominateur pModèle:Exp n'apparaisse qu'une fois, et que le numérateur correspondant soit compris entre 0 et p – 1. Par exemple :

La « partie entière » (dans ce contexte) de cette fraction est l'entier –1, tandis que sa partie entière au sens usuel est 0.

Liens externes

Modèle:Autres projets Décomposition en éléments simples ; un tutoriel à l'usage des étudiants post-BAC.

Démonstration de la décomposition en éléments simples dans C ; Une démonstration par éliminations successives des parties polaires.

Démonstration de la décomposition en éléments simples ; Une démonstration utilisant l'arithmétique des polynômes.

Démonstration du wiki anglais ; Une démonstration basée sur la décomposition de Taylor.

Démonstration dans C ; Une démonstration basée sur l'algèbre linéaire en dimension finie.