Constante d'Apéry

Approximation de la constante d'Apéry (ligne bleue) par les sommes partielles de la série des Modèle:Math (ligne rouge).

En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en Modèle:Math de la fonction zêta de Riemann :

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\approx 1{,}202$.

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.

On n'en connaît pas de forme fermée.

Décimales connues

Cette constante était connue avec Modèle:Unité en 1998, 1 000 000 000 en 2003 et jusqu'à Modèle:Unité en 2015.

Occurrences

Ce nombre apparaît dans diverses situations :

• dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
• en théorie des graphes ;
• en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ;
• en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/Modèle:Math(k) (cf. [[Fonction zêta de Riemann#Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens|§ « Représentation de 1/Modèle:Math et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »]]), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/Modèle:Math(3) ≃ 0,831907….

Irrationalité

Modèle:Voir Le nombre Modèle:Math est irrationnel.

On ne sait pas s'il est transcendant.

Par comparaison, pour tout entier Modèle:Math, le nombre [[Fonction zêta de Riemann#Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul|Modèle:Math]] est transcendant car commensurable à Modèle:Math (par exemple : [[Problème de Bâle|Modèle:Math]]).

Représentations par des séries

Séries classiques

$\zeta (3)=$Modèle:, $-{\frac {4\pi ^{2}}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}$.

$\zeta (3)=$ ${\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\frac {8}{7}}\lambda (3)$, où Modèle:Mvar est la fonction lambda de Dirichlet.

$\zeta (3)=$ ${\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\eta (3)$, où Modèle:Mvar est la fonction êta de Dirichlet.

$\zeta (3)=$Modèle:, ${\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n-1}}{n^{2}}}$, où Modèle:Mvar est le Modèle:Mvar-ième nombre harmonique.

$\zeta (3)=$ $8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}H_{n-1}}{n^{2}}}$.

Convergence rapide

$\zeta (3)=$ ${\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{{\binom {2n}{n}}n^{3}}}$.

$\zeta (3)=$ ${\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(56n^{2}-32n+5)}{{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}n^{3}(2n-1)^{2}}}$.

$\zeta (3)=$ ${\frac {1}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!^{10}}{(2n+1)!^{5}}}\left(205n^{2}+250n+77\right)$.

$\zeta (3)=$ ${\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\left[(2n+1)!(2n)!n!\right]^{3}}{(4n+3)!^{3}(3n+2)!}}\left(126\,392n^{5}+412\,708n^{4}+531\,578n^{3}+336\,367n^{2}+104\,000n+12\,463\right)$.

Autres

Les Cahiers de Ramanujan ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes :

$\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}$ ;

$\zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}+1)}}$.

Srivastava a collecté de nombreuses séries qui convergent vers Modèle:Math.

Représentations par des intégrales

Formules simples

La première est issue de la définition de la [[Fonction zêta de Riemann|fonction Modèle:Math]] par une série et les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ ;

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x$.

Modèle:Refsou :

$\zeta (3)={\frac {4}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x$.

Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan Modèle:Math  :

$\mathrm {K} ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x$.

Formules plus compliquées

$\zeta (3)=$ $\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\cosh ^{2}{\frac {\pi x}{2}}}}\,\mathrm {d} x$.

$\zeta (3)=$ $-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{1-xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=-\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1-xy)}{xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$.

$\zeta (3)=$ $\int _{0}^{1}{\frac {\ln x\ln(1-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$.

$\zeta (3)=$ ${\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln x}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x$.

$\zeta (3)=$ $-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi (1)$, et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma et ses dérivées, et de la fonction digamma.

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Nombres premiers issus de troncature de cette constante

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Lien web