E (nombre)

L’aire sous l’hyperbole est égale à 1 sur l’intervalle Modèle:Math.

Le nombre Modèle:Math est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par $\ln(\mathrm {e} )=1$. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.

Ce nombre est défini à la fin du Modèle:S, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation $\ln(\mathrm {e} )=1$ ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation $\exp(x)=\mathrm {e} ^{x}$. La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de Modèle:Math par Euler comme somme de la série : Modèle:Retrait Ce nombre apparait aussi comme limite de la suite numérique de terme général $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ et dans de nombreuses formules en analyse telles que l'identité d'Euler $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1$ ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.

Euler démontre en 1737 que Modèle:Math est irrationnel, donc que son développement décimal n'est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement en fraction continue. En 1873, Charles Hermite montre que le nombre Modèle:Math est même transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers.

Définition par les logarithmes

Logarithme népérien

John Napier.

Au début du Modèle:S, le mathématicien écossais John Napier construit les premières tables de logarithmes, qui permettent de simplifier des calculs de produits et quotients mais aussi racines carrées, cubiques et autres. Elles consistent à associer à chaque nombre d'une liste un autre nombre (appelé logarithme), de façon qu'une relation de proportionnalité entre quatre termes de la première liste se traduise par des différences égales entre les termes correspondants de la seconde liste : si Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math ont pour logarithmes respectifs Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, alors la relation Modèle:Math est équivalente à la relation Modèle:Math. Modèle:Article détaillé

Plus précisément, Napier fixe un rayon initial de dix millions et construit une liste dans laquelle chaque nombre permet de calculer le suivant en lui soustrayant un dix-millionième de sa valeur. Ces opérations successives sont donc des multiplications itérées par Modèle:Math et la liste constitue une suite géométrique de premier terme 10Modèle:Exp. Le logarithme de chaque nombre de la liste étant son rang d'apparition, la formule du logarithme ainsi obtenu par Napier s'écrit alors :

$\operatorname {NapLog} (x)=\log _{1-10^{-7}}(x.10^{-7})={\frac {\ln(x.10^{-7})}{\ln(1-10^{-7})}}$.

Napier interprète cette construction à l'aide d'un problème cinématique dans lequel un mobile se déplace à vitesse constante et un autre se déplace sur une longueur finie avec une vitesse proportionnelle à la distance qui lui reste à parcourir. En termes modernes, le problème se traduit donc par deux équations différentielles dont les solutions sont linéaire pour le premier mobile et exponentielle pour le second. En égalant les vitesses initiales des deux mobiles et en fixant à 10Modèle:Exp la longueur à parcourir pour le second mobile, la position Modèle:Math du premier mobile s'obtient à partir de la distance restante Modèle:Math du premier mobile par la formule : Modèle:Retrait

Or l'approximation affine du logarithme naturel en 1 permet d'approcher Modèle:Math par Modèle:Math avec une précision de l'ordre de Modèle:Math, soit 7 chiffres significatifs. Les tables de valeurs obtenues par Napier offrent donc à la lecture les mêmes premières décimales que celles du logarithme naturel et en particulier, son logarithme vaut 10Modèle:Exp entre les sinus de 21°35' et de 21°36, où l'on retrouve les premières décimales de Modèle:Math (à savoir 3678…). Mais ce nombre n'est pas mis en évidence par Napier.

Logarithme décimal

En 1624, Henry Briggs, correspondant avec Napier, modifie les paramètres de construction des tables de logarithmes. D'abord il fixe à 0 le logarithme de 1, ce qui revient à choisir un rayon unitaire. Ses tables transforment alors les produits en sommes, ce qui s'écrit en formulation moderne : Modèle:Formule. Ensuite, il fixe à 1 le logarithme de 10, ce qui fait qu'une multiplication par 10 d'un nombre se traduit par un ajout d'une unité à son logarithme.

Briggs obtient ainsi une table de valeurs du logarithme décimal, fondé sur le système de numération en base 10, mais la notion de fonction n'a pas encore émergé à l'époque. En particulier, il n'y a pas de trace d'une évaluation d'un taux d'accroissement en 1, qui aurait pu faire apparaitre une approximation de Modèle:Math.

Logarithme naturel

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent met en évidence une relation analogue à celle du logarithme entre les aires de domaines délimités par une branche d'hyperbole et son asymptote. En 1661, Christian Huygens fait le lien entre les logarithmes et la quadrature de l'hyperbole, et en particulier celle d'équation Modèle:Formule. Le logarithme naturel est donc mis en évidence, mais sa base (Modèle:Math) n'est pas identifiée.

C’est dans une lettre de Leibniz à Huygens que ce nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturel, vers 1690, mais Leibniz le note b.

Nouvelle notation

Leonhard Euler.

Euler, dans un article écrit en 1727 ou 1728, est le premier à noter e Modèle:Citation. Il utilise cette notation, avec la même définition, dans une lettre à Goldbach en 1731.

Le choix de la lettre e comme un hommage au nom d'Euler lui-même étant par conséquent peu probable, d'autres suppositions ont été avancées : première voyelle ou première lettre non utilisée dans un calcul littéral, initiale de « exponentielle »Modèle:Etc..

Redéfinition par l'exponentielle

Relation avec la base du logarithme naturel

Euler voyait dans les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes des fonctions réciproques l'une de l'autre. Ecrivant l'équivalence $a^{z}=y\Leftrightarrow z=l(y)$, il appelait le logarithme Modèle:Mvar en question le logarithme de base Modèle:Mvar et remarquait que Modèle:Math. Selon cette correspondance, il existe un nombre appelé par Euler Modèle:Math vérifiant l'équivalence $\mathrm {e} ^{z}=y\Leftrightarrow z=\ln(y)$, ce nombre vérifie Modèle:Math. La fonction exponentielle admettant une décomposition en série entière, Euler obtient le développement de Modèle:Math comme série des inverses des factorielles des entiers naturels.

Selon Hervé Lehning, il aurait eu Modèle:Citation :

Il va exprimer tous les coefficients en fonction de Modèle:Mvar. Voici comment. D'abord, en posant Modèle:Math, il obtient Modèle:Math. Puis, il calculeModèle:Sfn :

mais puisque Modèle:Math, il pose également

donc,

Il développe le membre de droite de façon à pouvoir identifier les coefficients de gauche à ceux de droite : Modèle:Math, Modèle:Math (d'où Modèle:Math), Modèle:Math (d'où Modèle:Math)Modèle:Etc.

Il parvient donc à cette équationModèle:Sfn :

La base Modèle:Math étant la seule permettant l'égalité entre l'exponentielle et sa dérivée, il reste à trouver Modèle:Mvar tel que ce polynôme et sa dérivée sont égaux. La solution est triviale : Modèle:Math. Enfin, on observe que 1, 2, 6, 24 sont les valeurs successives de la factorielle, ce qui mène Euler à conclureModèle:Sfn :

Modèle:Retrait dont une valeur approchée avait déjà été calculée par Isaac Newton en 1669.

Différentes courbes exponentielles. Seule celle de base Modèle:Math (en bleu) a une tangente de pente 1 à l'origine.

Les différentes caractérisations de la fonction exponentielle parmi les autres fonctions exponentielles de base quelconque permettent aussi de redéfinir Modèle:Math comme l'unique réel tel que la fonction qui à Modèle:Math associe Modèle:Math soit égale à sa dérivée ou admette une dérivée valant 1 en 0.

Propriétés

Irrationalité

La première preuve de l'irrationalité de Modèle:Math est due à Euler Modèle:Infra. Fourier donna la preuve plus simple suivanteModèle:,, en utilisant la décomposition de Modèle:Math par la série exponentielle et en raisonnant par l'absurde.

Il s'agit de prouver que pour tout entier Modèle:Math, le nombre Modèle:Math n'est pas entier. Pour cela, il montre que Modèle:Math lui-même n'est pas entier, en le décomposant sous la forme Modèle:Retrait où les nombres Modèle:Math et Modèle:Math sont définis par : Modèle:Retrait

• Le nombre Modèle:Math est entier, comme somme des entiers Modèle:Math (pour Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math) ;
• Le nombre Modèle:Math n'est pas entier. En effet, il est compris strictement 0 et 1.

Ainsi, Modèle:Math est somme d'un entier et d'un non-entier ; il n'est donc pas entier ; Modèle:Lang, Modèle:Math n'est pas entier. Cette conclusion étant valable quel que soit l'entier Modèle:Math, Modèle:Math est irrationnel.

Fraction continue

Une autre démonstration de l'irrationalité de Modèle:Math consiste à utiliser les fractions continues. Si la preuve est plus complexe, elle offre aussi plus de possibilités de généralisation.

En 1737, Euler a obtenu le développement en fraction continue de Modèle:Math : Modèle:Retrait Ce développement étant infini, ce nombre est irrationnel.

En 1761, Lambert étend la preuve donnée par Euler et montre, à l'aide de développements en fractions continues généralisées, que pour tout rationnel r non nul (en particulier pour tout entier non nul), Modèle:Math est irrationnel.

Cette approche permet aussi d’établir que Modèle:Math n’est pas un irrationnel quadratique, c’est-à-dire n’est solution d’aucune équation du second degré à coefficients rationnels (Modèle:Cf. Fraction continue et approximation diophantienne).

Cependant, la mesure d'irrationalité de Modèle:Math est égale à Modèle:Math, comme celle des nombres irrationnels algébriques ainsi que l'indique le théorème de Roth.

Transcendance

Pour aller plus loin, c’est-à-dire que pour montrer que Modèle:Math n’est solution d’aucune équation du troisième degré à coefficients rationnels puis, qu’il est transcendant, ce qui signifie qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, de nouvelles idées sont nécessaires.

La transcendance de Modèle:Math fut établie par Charles Hermite en 1873, par une méthode préfigurant la théorie des approximants de Padé, développée en 1892 dans la thèse de son élève Henri Padé. Les différents approximants de Padé de la fonction exponentielle fournissent en effet de nombreuses expressions de Modèle:Math sous forme de fractions continues généralisées.

Puisque Modèle:Math est transcendant, Modèle:Math l'est aussi, pour tout rationnel r non nul (et plus généralement : f(Modèle:Math), pour toute fonction algébrique f non constante).

Le théorème de Gelfond-Schneider permet de démontrer également que, par exemple, Modèle:Math est transcendant, mais on ne sait pas encore, en 2019, si Modèle:Math et Modèle:Math sont transcendants ou non (il est cependant conjecturé que tous les nombres de cette forme le sont).

Il est également conjecturé que Modèle:Math est un nombre normal.

Applications

Problème des intérêts composés

En 1685, Jacques Bernoulli étudie le problème des intérêts composés en progression continue : si un montant Modèle:Math rapporte un montant Modèle:Math d'intérêts au bout d'un temps fini, on peut considérer que ces intérêts s'acquièrent linéairement en fonction du temps. Mais sur l'intervalle de temps considéré, ces intérêts devraient eux-mêmes produire des intérêts, et ainsi de suite. Bernoulli obtient ainsi une expression qui évoque le développement en série exponentielle.

Décimales connues

Parmi les rationnels de numérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche de Modèle:Math est Modèle:Sfrac ≈ Modèle:Gaps.

La valeur numérique de Modèle:Math tronquée à 15 décimales est Modèle:Gaps.

Le nombre de décimales connues de la constante Modèle:Math a beaucoup augmenté au cours des dernières décennies. Cette précision est due à l’augmentation des performances des ordinateurs ainsi qu’au perfectionnement des algorithmesModèle:,.

Nombre de décimales connues de la constante Modèle:Math

Date	Nombre de décimales	Performance due à
1748	18	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	Marcus Boorman
1949	2 010	John von Neumann (avec l’ENIAC)
1961	100 265	Daniel Shanks et Modèle:Lien
1978	116 000	Stephen Gary Wozniak (avec l’[[Apple II|Modèle:Nobr]])
Modèle:1er avril 1994	10 000 000	Robert Nemiroff et Jerry Bonnell
21 novembre 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
16 juillet 2000	3 221 225 472	Colin Martin et Xavier Gourdon
18 septembre 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo et Xavier Gourdon
27 avril 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo et Steve Pagliarulo
6 mai 2009	200 000 000 000	Shigeru Kondo et Steve Pagliarulo
5 juillet 2010	1 000 000 000 000	Shigeru Kondo et Alexander J. Yee
24 juin 2015	1 400 000 000 000	Matthew Hebert
29 août 2016	5 000 000 000 000	Ron Watkins
3 janvier 2019	8 000 000 000 000	Gerald Hofmann

Dans la culture informatique

Le nombre Modèle:Math fait l'objet de nombreux hommages dans le milieu informatique.

Pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir lever non pas un chiffre rond comme c'est généralement le cas, mais Modèle:Unité, soit Modèle:Math milliards de dollars (au dollar près). Google est aussi à l'origine d'une campagne de recrutement originale en juillet 2004 : des panneaux mentionnant « {first 10-digit prime found in the consecutive digits of e}.com » ({premier nombre premier à 10 chiffres trouvé dans les décimales successives de e}.com) affichés dans un premier temps dans la Silicon Valley, puis à Cambridge, Seattle et Austin incitaient les curieux à se rendre sur le site aujourd'hui disparu 7427466391.com. Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus difficile, qui lui-même le renvoyait sur le site Google Labs où il était invité à soumettre un CVModèle:,. Le premier nombre premier à dix chiffres dans les décimales de Modèle:Math est 7 427 466 391, qui commence à la Modèle:99e.

L'informaticien Donald Knuth a numéroté les différentes versions de son programme Metafont d'après les décimales de Modèle:Math : 2, 2,7, 2,71, 2,718, et ainsi de suite. De la même façon, les numéros de versions de son programme TeX approchent [[Pi|Modèle:Math]].

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Page h
• Histoire des logarithmes et des exponentielles
• Formule d'Euler
• Représentations de e